A Rewrite System Associated with Quadratic Pisot Units

Abstract

In a previous work, we have investigated an automata-theoretic property of numeration systems associated with quadratic Pisot units that yields, for every such number θ, a certain group G _θ .

In this paper, we characterize a cross-section of a congruence γθ of $\mathbb{Z}$ ⁴ that had arisen when constructing G _θ . In spite of the algebraic connections and implications of that characterization, the proof is combinatorial, and based upon rewriting techniques.

The main point is to show that the rewrite system made up by the relations that generate γθ, though non-confluent, behaves as if it were confluent.

Dans un article précédent, nous avions associé à chaque nombre de Pisot quadratique unitaire θ un certain groupe G _θ par le biais de la construction d’un automate qui réalise le passage entre les représentations des entiers dans deux systèmes de numération naturellement attachés à θ.

Dans cet article, nous donnons une caractérisation d’un ensemble de représentants pour une congruence γθ de $\mathbb{Z}$ ⁴ qui avait été utilisée pour la définition de G _θ . Bien que les motivations, le cadre, et les implications de cette caractérisation soient algébriques, la preuve est combinatoire et utilise les techniques des systèmes de réécriture.

Le point crucial consiste à montrer que le système de réécriture formé par les relations qui engendrent γθ se comporte comme un système confluent bien qu’il ne le soit pas.

Dedicated to the memory of David Klarner