Parameterschätzung in Nichtlinearen Modellen Anwendung Auf Ein Wassergutemodell

Zusammenfassung

Bei dynamischen Systemen, die durch gewohnliche Differentialgleichungen (DGS) gegeben sind, ist das statistische Modell durch

$$ \text{y}(\text{t}_{k + 1} ) = \text{X}(\text{t}_\text{k} ) + \int\limits_{\text{t}_\text{k} }^{\text{t}_{\text{k + 1}} } {\text{f}(\text{X}(\text{S})\text{,P})\text{ds} + \varepsilon _\text{k} } $$

gegeben. Hierbei bedeuten y die Datenzeitreihe, ε_k unabhängige zufällige, meist normalverteilte Fehler und x die Lösung des Parameterabhangigen DGS’s. Hängt die Kovarianzmatrix von ε_k noch vom Zustand des Modells an einem früheren Zeitpunkt ab, so ist y als Realisierung eines stochastischen Differentialglei chungssystems zu betrachten Cw Wiener Proze ß):

$$ \text{y(t}_{\text{k + 1}} ) = \text{x}(\text{t}_\text{k} ) = \int_{\text{t}_\text{k} }^{\text{t}_{\text{k + }} \text{h}_\text{1} } {\text{f(x(s),p)ds + }\int_{\text{t}_\text{k} }^{\text{t}_{\text{k + 1}} } {\text{g(x(s)dw(s)}} } $$

Die unterschiedliche Betrachtungsweise führt zu unterschiedlich motivierten Abstandsfunktionen, die durch die Art der Daten und der Fehlereinwirkung begründet sind. Hotwendige Voraussetzung, in dynamischen Modellen Parameter erfolgreich bestimmen zu können, ist die Festlegung der Farametergrenzen und die Auswahl geeigneter Integrationsverfahren. Diese umrissenen Probleme, die wesentlich sind für die Qualität einer Modellanpassung werden für ein Eutrophierungsmodell (Braun [1]) mit über 50 freien Parametern betrachtet.