Multiplikation großer Zahlen

Zusammenfassung

Das hier beschriebene Multiplikationsverfahren beruht auf einem Rechnen in simultanen Kongruenzen. Die notwendigen Übersetzungen zwischen der Binärdarstellung der Zahlen und ihrer Darstellung durch Reste können für einen Modul der Form Π (2^{q i}–1) hinreichend schnell ausgeführt werden. Eine rekursive Schachtelung dieses Prinzips und zusätzliche zahlentheoretische Überlegungen führen zu der AbschätzungO $(n^1 + (\sqrt 2 + \varepsilon )/\sqrt {^2 lg{\text{ }}n} )$ für den Aufwand bei Multiplikationn-stelliger Zahlen. In diesem Zusammenhang wird der Arbeitsaufwand gemessen durch die Zahl der Elementarschritte einer das Verfahren darstellenden Turingmaschine mit mehreren Bändern. Dieses Ergebnis ist allerdings vorwiegend von theoretischer Bedeutung, weil eine praktische Verbesserung gegenüber der trivialen SchrankeO (n ²) erst fürn>=n _o mit sehr großemn _o möglich wird.

Summary

The following method of multiplication is based upon computations with simultaneous congruences. The translations needed between the binary form of numbers and their representation by residues can be performed sufficiently fast by use of a modul of the form Π (2^{q i}–1). A recursive iteration of this principle and additional numbertheoretical arguments lead to the estimateO $(n^1 + (\sqrt 2 + \varepsilon )/\sqrt {^2 lg{\text{ }}n} )$ for the work involved in the multiplication of numbers withn bits. In this context the amount of work is measured by the number of elementary steps of a multitape Turing machine representing this method. This result however is mainly of theoretical importance, for a practical improvement of the trivial boundO (n ²) becomes possible only forn>=n _o with a very largen _o.