Improving the Van de Vel Root-Finding method

Abstract

The Van de Vel Method for solving a single nonlinear equation consists in a succession of quasi-Newton steps, each with a coefficientm ^* that approximates the multiplicitym. Before every other step,m ^* is extrapolated by a δ²-process to a better estimate ofm. In the improved method,m ^* is extrapolated each and every step after the first; as a result, the efficiency is improved from 1.554 to 1.618. It is also shown that convergence of Van de Vel's Method is actually of order$\left( {1 + \sqrt 2 } \right)$ instead of the presumed value 2.

Zusammenfassung

Das Van de Velsche Nullstellenverfahren für eine nichtlineare Gleichung besteht aus einer Reihe von aufeinanderfolgenden Quasi-Newton Schritten, wobei in jedem Schritt ein Koeffizientm ^* die Vielfachkeitm approximiert. Der Koeffizientm ^* wird vor jedem zweiten Schritt mittels eines δ²-Prozesses extrapoliert, um dadurch einen besseren Schätzwert fürm zu erhalten. Im verbesserten Verfahren wirdm ^* nach dem ersten Schritt vor jedem weiteren Schritt extrapoliert. Damit wird die Effizienz des Verfahrens von 1.554 auf 1.618 erhöht. Es wird auch gezeigt, daß die Konvergenzordnung des Van de Velschen Verfahrens gleich$\left( {1 + \sqrt 2 } \right)$ ist (statt 2, wie üblicherweise angenommen).