The region approach for computing relative neighbourhood graphs in the L_p metric

Abstract

The following geometrical proximity concepts are discussed: relative closeness and geographic closeness. Consider a setV={v ₁,v ₂, ...,v _n } of distinct points in atwo-dimensional space. The pointv _j is said to be arelative neighbour ofv _i ifd _p (v _i ,v _j )≤max{d _p (v _j ,v _k ),d _p (v _j ,v _k )} for allv _k ∈V, whered _p denotes the distance in theL _p metric, 1≤p≤∞. After dividing the space around the pointv _i into eight sectors (regions) of equal size, a closest point tov _i in some region is called anoctant (region, orgeographic) neighbour ofv _i. For anyL _p metric, a relative neighbour ofv _i is always an octant neighbour in some region atv _i. This gives a direct method for computing all relative neighbours, i.e. for establishing therelative neighbourhood graph ofV. For every pointv _i ofV, first search for the octant neighbours ofv _i in each region, and then for each octant neighbourv _j found check whether the pointv _j is also a relative neighbour ofv _i. In theL _p metric, 1<p<∞, the total number of octant neighbours is shown to be θ(n) for any set ofn points; hence, even a straightforward implementation of the above method runs in θn ²) time. In theL ₁ andL _∞ metrics the method can be refined to a θ(n logn+m) algorithm, wherem is the number of relative neighbours in the output,n-1≤m≤n(n-1). TheL ₁ (L _∞) algorithm is optimal within a constant factor.

Zusammenfassung

Folgende Konzepte für geometrische Nähe werden diskutiert: relative Nähe und geographische Nähe. SeiV={v ₁, ...,v _n } eine Menge von Punkten eines zweidimensionalen Raumes. Ein Punktv _j heißt relativer Nachbar vonv _i, fallsd _p (v _i ,v _j )≤max {d _p (v _i ,v _k ),d _p (v _j ,v _k )} für allev _k∈V, wobeid _p den Abstand in derL _p-Metrik bezeichnet, 1≤p≤∞. Nach Unterteilung des Raumes umv _i in acht Sektoren (Bereiche) gleicher Größe heißt ein nächster Punkt vonv _i in einem Bereich ein Oktan-(Bereichs-oder geographischer) Nachbar vonv _i. Für jedeL _p-Metrik ist ein relativer Nachbar vonv _i auch immer ein Oktant-Nachbar in irgendeinem Bereich umv _i. Dies leifert eine direkte Methode zur Berechnung aller relativen Nachbarn, d.h. zur Erstellung der relativen Nachbarschaftsgraphen vonV. Für jeden Punktv _i vonV werden zuerst die Oktant-Nachbarn vonv _j in jedem Bereich gesucht, dann wird für jeden gefundenen Oktant-Nachbarnv _j geprüft, obv _j auch ein relativer Nachbar vonv _i ist. Er wird gezeigt, daß in derL _p-Metrik, 1<p<∞, die Gesamtanzahl der Oktant-Nachbarn θ (n) ist für jede Menge mitn Punkten; daher läuft auch eine nicht optimierte Implementierung der oben beschriebenen Methode in θ(n ²) Zeit. In derL ₁ undL _∞ Metrik kann die Methode zu einem θ (n logn+m) Algorithmus verfeinert werden, wobeim die Anzahl der relativen Nachbarn des Ergebnisses ist,n-1≤m≤n(n-1). DerL ₁ (L _∞)-Algorithmus ist optimal bis auf einen konstanten Faktor.