The convex-decomposable operator equation and its monotonic inclusive iteration

Abstract

In this paper we discuss a class of nonlinear operators, that we name convex-decomposable operators, which have the nature:Fy−Fx≤(D ₁ (x, y)+D ₂ (x, y))(y−x) forx≤y, andD ₁ andD ₂ are isotone and antitone respectively. It is shown that it is a rather large class of operators, containing e.g. the operators whose second derivatives are bounded. For these operators we give a monotonic inclusive iterative algorithm, and show the convergence of this algorithm under some simple conditions.

Zusammenfassung

In der vorliegenden Arbeit wird eine Klasse von nichtlinearen Operatoren, sogenannte konvexzerlegbare Operatoren, untersucht, die die Eigenschaft habenFy−Fx≤(D ₁ (x, y)+D ₂ (x, y))(y−x) fürx≤y mit isotonemD ₁ und antitonemD ₂. Wir beweisen, daß sie eine ziemlich große Klasse von Operatoren bilden, z.B. die Operatoren, deren zweite Abteilungen beschränkt sind. Für solche Operatoren geben wir ein monoton einschließendes Verfahren an, und darüberhinaus wird ein Konvergenzsatz bewiesen.