A converse rule of signs for polynomials

Abstract

Given a polynomialP(x), it is well-known that the Cardano-Descartes rule of signs gives only an upper bound on the number of its positive roots, except in the case in which there is one or no sign variation, where it indicates thatP(x) has one or no positive root(s) respectively. In certain new root isolation methods, of great interest to symbolic mathematical computation, it is important to know under what conditions the existence of one positive root implies thatP(x) presents only one sign variation. These conditions are discussed and presented in this paper.

Zusammenfassung

Für PolynomeP(x) ist lange bekannt, daß die Zeichenregel von Cardano-Descartes nur obere Schranken für die Anzahl der positiven Nullstellen liefert, ausgenommen die Fälle, in denen ein oder gar kein Vorzeichenwechsel stattfindet, woraus folgt, daßP (x) genau eine oder keine positive Wurzel besitzt. In neuen Methoden zur Trennung der Nullstellen, die bei symbolischer Rechnung von großem Interesse sind, ist die umgekehrte Fragestellung wichtig: Unter welchen Bedingungen hat die Existenz genau einer positiven Wurzel zur Folge, daß bei den Koeffizienten vonP(x) nur ein Zeichenwechsel auftritt? Diese Bedingungen werden in der vorliegenden Arbeit vorgestellt und diskutiert.