Iterations for solving linear variational inequalities on domains with nonlinear boundaries

Abstract

This paper deals with numerical methods for solving linear variational inequalities on an arbitrary closed convex subsetC of ℝⁿ. Although there were numerous iterations studied for the caseC=ℝ ⁿ₊ , few were proposed for the case whenC is a closed convex subset. The essential difficulty in this case is the nonlinearities ofC's boundaries. In this paper iteration processes are designed for solving linear variational inequalities on an arbitrary closed convex subsetC. In our algorithms the computation of a linear variational inequality is decomposed into a sequence of problems of projecting a vector to the closed convex subsetC, which are computable as long as the equations describing the boundaries are given. In particular, using our iterations one can easily compute a solution whenC is one of the common closed convex subsets such as cube, ball, ellipsoid, etc. The non-accurate iteration, the estimate of the solutions on unbounded domains and the theory of approximating the boundaries are also established. Moreover, a necessary and sufficient condition is given for a vector to be an approximate solution. Finally, some numerical examples are presented, which show that the designed algorithms are effective and efficient. The exposition of this paper is self-contained.

Zusammenfassung

Diese Arbeit behandelt numerische Methoden zur Lösung linearer Variations-Ungleichungen auf einer abgeschlossenen konvexen Teilmenge des ℝⁿ. Es gibt zwar zahlreiche Iterationsverfahren für den FallC=ℝ ⁿ₊ für den Fall einer beliebigen abgeschlossenen konvexen TeilmengeC wurde aber nur wenig vorgeschlagen. Die wesentliche Schwierigkeit in diesem Fall liegt in den Nichtlinearitäten des Randes vonC. In dieser Arbeit werden Iterationsverfahren zur Lösung linearer Variations-Ungleichungen auf einer beliebigen abgeschlossenen konvexen TeilmengeC entwickelt. In unseren Algorithmen wird die Berechnung einer linearen Variations-Ungleichung zerlegt in eine Folge von Projektionen eines Vektors auf die abgeschlossene konvexe TeilmengeC, die berechnet werden können, solange die Bestimmungsgleichungen des Randes gegeben sind. Insbesondere kann mit unseren Iterationsverfahren leicht eine Lösung berechnet werden fürC als Würfel, Kugel, Ellipsoid etc. Außerdem werden Näherungs-Iterationen, Abschätzung der Lösungen für unbeschränkte Bereiche und die Theorie der Randapproximation untersucht. Weiters wird eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür angegeben, daß ein Vektor eine Näherungslösung ist. Schließlich werden einige numerische Beispiele präsentiert, die zeigen, daß die vorgestellten Algorithmen effektiv und effizient sind.