On the convergence order of a modified method for simultaneous finding polynomial zeros

Abstract

Using Newton's corrections and Gauss-Seidel approach, a modification of single-step method [1] for the simultaneous finding all zeros of ann-th degree polynomial is formulated in this paper. It is shown thatR-order of convergence of the presented method is at least 2(1+τ _n ) where τ _n ∈(1,2) is the unique positive zero of the polynomial$\tilde f_n (\tau ) = \tau ^n - \tau - 1$. Faster convergence of the modified method in reference to the similar methods is attained without additional calculations. Comparison is performed in the example of an algebraic equation.

Zusammenfassung

In dieser Arbeit wird eine Modifikation einer Einschritt-Methode [1] zur gleichzeitigen Ermittlung aller Nullstellen eines Polynomsn-ter Ordnung unter Verwendung des Gauss-Seidel-Vorgehens und Newtonscher Korrekturen vorgestellt. Es wird gezeigt, daß dieR-Ordnung der vorgestellten Methode mindestens 2(1+τ _n ) beträgt, wobei τ _n ∈(1,2) die eindeutige positive Wurzel des Polynoms$\tilde f_n (\tau ) = \tau ^n - \tau - 1$ darstellt. Es wird eine schnellere Konvergenz der modifizierten Methode im Vergleich zu ähnlichen Methoden erreicht, und zwar ohne zusätzlichen Rechenaufwand. Ein Vergleichsbeispiel mit einer algebraischen Gleichung wird präsentiert.