Determination of minimum sets of the set of zeros of a function

Abstract

Given a real function$f:\mathbb{R} \supseteq X \to \mathbb{R}$ depending on several parametersa ₁, ...,a _n contained in elementsA ₁, ...,A _n of the extended interval-spaceℍ, see [5], [6]. One is interested in the set of zeros

of the range

off. According to the special problem it may be reasonable to determine inclusions or minimum sets ofN _f . In the usual interval analysis mainly inclusions are determined e. g. [1], [3], [8], [9], whereas minimum sets of solutions of linear systems are treated in e. g. [2], [4]. The extension of the interval space allows to treat this problem in an algebraic straight forward way. After a short description of the extended interval spaceℍ, the definition and description of the range operator

, in the last chapter a Newton-like algorithm, determining minimum sets is introduced, which also allows the automatic treatment of rounding errors.

Zusammenfassung

Gegeben sei eine reelle, von mehreren Parametern abhängige Funktion. Gesucht ist die Nullstellenmenge des Wertebereichs. Je nach Aufgabenstellung kann es sinnvoll sein, Einschließungen oder Mindestmengen der Nullstellenmenge zu bestimmen. Während in der üblichen Intervallrechnung hauptsächlich Einschließungen berechnet werden, wird hier die Berechnung von Mindestmengen behandelt. Nach einer kurzen Beschreibung des erweiterten Intervallraumes, der Definition und Beschreibung des Wertebereichs-operators

wird im letzten Abschnitt ein Newton-ähnlicher Algorithmus zur Berechnung von Mindestmengen vorgestellt, der auch die automatische Behandlung von Rundungsfehlern ermöglicht.