An automatic and guaranteed determination of the number of roots of an analytic function interior to a simple closed curve in the complex plane

Abstract

A well known result from complex analysis allows us, under suitable circumstances, to compute the number of roots of an analytic function,f(z), that lie inside a counterclockwise, simple closed curve,C, by computing the integral.

$$\frac{1}{{2\pi i}}\int_C {\frac{{f'(z)}}{{f(z)}}} dz.$$

We employ interval arithmetic and automatic differentiation to give an automatic and guaranteed bound on the integral. Furthermore, we explore the interplay of the choice of curveC, the location of the roots relative toC, the number of subdivisions, and the arithmetic precision used, upon the time necessary to obtain satisfactory bounds.

Abstract

Из комплексного аиализа известно, что при определенных условиях число корней аналитической функцииf(z), лежаших внутри простой замкнутой кривойС, направленной против часовой стрелки, можно вычислить, взяв интеграл

$$\frac{1}{{2\pi i}}\int_C {\frac{{f'(z)}}{{f(z)}}} dz.$$

Применив интервальную арифметику и автоматическое дифференцирование, мы получаем гарантированные границы зтого интеграла. Кроме того, исследуется влияние выбора кривойС, расположения корней по отношению кС, количества разбиений и разрядности используемой арифметики на время, требуемое для получения удовлетворительных границ.