Polynomial description of linear block codes and its applications to soft-input, soft-output decoding

Abstract

This paper reviews the representation of binary linear block codes by multi-indeterminate “descriptive polynomials” and extends it to versions permuted with respect to the usual systematic form. The main decoding rules (word-by-word and symbol-by-symbol) can then be expressed in terms of descriptive polynomials, the computation of which is easily implemented using trellises. Particular emphasis is given to the symbol-by-symbol decoding rule where the decoder input and output are both real numbers, assuming a logarithmic measure of the likelihood ratio is employed. The same form of input and output enables successive soft decodings of concatenated codes and iterated decoding. Keeping only the largest monomial of descriptive polynomials widely simplifies decoding and, moreover, results in the same decoded word as the word-by-word decoding rule although the decisions on the symbols are still expressed as real numbers. These tools are applied to convolutional codes (for a finite message length). Decoding a non-recursive non-systematic code by means of the trellis as defined here is shown to be of same complexity as using the trellis conventionally associated with the Viterbi algorithm. On the contrary, decoding a recursive systematic code, of better potential performance, is of greater and prohibitive complexity. Keeping reasonable complexity in this case can however use iteration. Two distinct reasons for iteration of decoding are identified, which both apply to turbo coding.

Résumé

Cet article reprend la rep'esentation de codes en blocs linéaires par des « polynômes descripteurs » à plusieurs indéterminées et la généralise à des versions permutées par rapport à la forme systématique usuelle. Les principales règies de décodage (par mot et par symbole) peuvent être exprimées en fonction de polynômes descripteurs que l’on peut aisément calculer au moyen de treillis. On insiste surtout sur la régie de décodage symbole par symbole, où l’entrée comme la sortie du décodeur sont des nombres réels, en supposant qu’une mesure logarithmique des rapports de vraisemblance est employée. La même forme à l’entrée et à la sortie permet des décodages pondérés successifs et le décodage itéré. On simplifie largement le décodage en ne conservant que le plus grand monôme des polynômes descripteurs et, de plus, le résultat obtenu est le même que celui de la régie de décodage mot par mot bien que les décisions sur les symboles soient toujours exprimées par des nombres réels. Ces outils sont appliqués aux codes convolutifs (pour un message de longueur finie). On montre que la complexité du décodage d’un code non récursif et non systématique à l’aide du treillis déjini ici est la même qu’en employant le treillis habituellement associé à l’algorithme de Viterbi. Au contraire, le décodage d’un code récursif systématique, de meilleures performances potentielles, est d’une complexité plus grande et prohibitive. On peut cependant conserver une complexité raisonnable, dans ce cas, en faisant usage de l’itération. Deux raisons distinctes de l’itération du décodage sont identifiées, qui toutes deux s’appliquent aux turbo codes.