Netzwerke zur simultanen Berechnung Boolescher Funktionen (Ausführliche Kurzfassung)

Abstrakt

Es werden die optimalen Netzwerke über dem gesamten zweistelligen Operationensystem zur simultanen Berechnung von beliebigen Funktionen f_n,g_nεF_n charakterisiert. Dabei sei n ε N gerade und F_n:= {f:Bⁿ → B/∃ Permutation σ von {1,...,n}

$$mit:f = \mathop \oplus \limits_{i = 1}^{n/2} (x_{\sigma (2i - 1)} \Lambda x_{\sigma (2i)} )\}$$

Wir nennen x_p^x_q einen gemeinsamen Summanden von f_n,g_n, wenn x_p^x_q sowohl als Summand von f_n als auch von g_n auftritt. Ein 4-Tupel (x_i,x_j,x_k,x_l) heißt zusammenhängend bzgl f_n,g_n, wenn x_i^x_j, x_k^x_l Summanden von f_n und x_i^x_l, x_j^x_k Summanden von g_n sind. Wir zeigen:

• 1) Haben f_n,g_n keine gemeinsamen Summanden, so zerfällt jedes optimale Netzwerk zur simultanen Berechnung von f_n,g_n in disjunkte Teilnetzwerke γ₁,γ₂, welche f_n bzw. g_n auf naheliegende Weise berechnen.

• 2) Haben f_n,g_n gemeinsame Summanden so gilt:

• a) Gibt es keine bzgl f_n,g_n zusammenhängenden 4-Tupel, so ist die naheliegende Simultanberechnung zu f_n,g_n, welche in disjunkten Teilnetzwerken γ₁,γ₂,γ₃ die Summe aller f_n-eigenen bzw. aller g_n-eigenen bzw. aller gemeinsamen Summanden von f_n,g_n berechnet und diese Zwischenergebnisse entsprechend aufaddiert, das einzige optimale Netzwerk zu f_n,g_n.

• b) Gibt es bzgl. f_n,g_n zusammenhängende 4-Tupel, so gibt es optimale Netzwerke zu f_n,g_n, welche sich vom oben beschriebenen Standard-typ unterscheiden, indem sie die 4-Tupel-Summanden auf andere Weise berechnen.