Appendix A Previous Divergence Functions
Unless otherwise stated, in this section \(\mathsf { R_{1}} = \{ ( \mathsf {t_{i}},\xi _{\mathsf {R_{1}}}(\mathsf {t_{i}}),\nu _{\mathsf {R_{1}}}(\mathsf {t_{i}}) ) \; \mid \; \mathsf {i=1}, \ldots , \mathsf {n} \}\) and \(\mathsf { R_{2}} = \{ ( \mathsf {t_{i}},\xi _{\mathsf {R_{2}}}(\mathsf {t_{i}}),\nu _{\mathsf {R_{2}}}(\mathsf {t_{i}}) ) \; \mid \; \mathsf {i=1}, \ldots , \mathsf {n} \}\) denote IFSs on the same set \(\mathsf {Y=\{t_{1},\ldots ,t_n \}}\).
Parkash and Kumar [26] defined the generalized parametric exponential divergence measure for IFSs as follows:
$$\begin{aligned}&\mathsf {D}_{\mathsf {1}}^{\mathsf {c}}(\mathsf {R_1,R_2}) \nonumber \\&\quad =\sum _{\mathsf {i=1}}^{\mathsf {m}} \Bigg ( \mathsf {1} - \left( \frac{\mathsf {1}-\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})+\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}}) }{\mathsf {2}}\right) \nonumber \\& \quad \quad \times \mathsf {exp}\left[ \left( \frac{\mathsf {1}-\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})+\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {2}}\right) ^\alpha -\left( \frac{\mathsf {1}-\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}}) +\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {2}}\right) ^\alpha \right] \nonumber \\& \quad \quad - \left( \frac{\mathsf {1}+\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})-\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}}) }{\mathsf {2}}\right) \times \mathsf {exp}\left[ \left( \frac{\mathsf {1}+\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})-\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {2}}\right) ^\alpha \right. \nonumber \\& \quad \quad \left. -\left( \frac{\mathsf {1}+\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})-\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {2}}\right) ^\alpha \right] \Bigg ) \nonumber \\& \quad \quad+ \sum _{\mathsf {i=1}}^{\mathsf {m}} \Bigg ( \mathsf {1} - \left( \frac{\mathsf {1}-\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})+\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}}) }{\mathsf {2}}\right) \nonumber \\&\quad \quad \times \mathsf {exp}\left[ \left( \frac{\mathsf {1}-\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})+\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {2}}\right) ^\alpha -\left( \frac{\mathsf {1}-\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})+\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {2}}\right) ^\alpha \right] \nonumber \\& \quad \quad - \left( \frac{\mathsf {1}+\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})-\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}}) }{\mathsf {2}}\right) \times \mathsf {exp}\left[ \left( \frac{\mathsf {1}+\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})-\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {2}}\right) ^\alpha \right. \nonumber \\&\quad \quad \left. -\left( \frac{\mathsf {1}+\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})-\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {2}}\right) ^\alpha \right] \Bigg ) \end{aligned}$$
(17)
where \(\mathsf {\alpha > 0}\).
Mishra et al. [21] extended two divergence measures based on the exponential function for IFSs as follows:
$$\begin{aligned} & D_{2}^{c} (R_{1} ,R_{2} ) = \frac{1}{{2n(\exp (2) - 1)}}\sum\limits_{{i = 1}}^{n} {\left[ {\left( {\xi _{{R_{1} }} (t_{i} ) - \xi _{{R_{2} }} (t_{i} )} \right)} \right.} \hfill \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\,\left( {\exp \left( {\frac{{2\xi _{{R_{1} }} (t_{i} )}}{{\xi _{{R_{1} }} (t_{i} ) + \xi _{{R_{2} }} (t_{i} )}}} \right)} \right. \hfill \\ & \left. {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\; - \exp \left( {\frac{{2\xi _{{R_{2} }} (t_{i} )}}{{\xi _{{R_{1} }} (t_{i} ) + \xi _{{R_{2} }} (t_{i} )}}} \right)} \right) \hfill \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\; + \left( {\nu _{{R_{1} }} (t_{i} ) - \nu _{{R_{2} }} (t_{i} )} \right)\left( {\exp \left( {\frac{{2\nu _{{R_{1} }} (t_{i} )}}{{\nu _{{R_{1} }} (t_{i} ) + \nu _{{R_{2} }} (t_{i} )}}} \right)} \right. \hfill \\ & \left. {\,\,\left. {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\,\; - \exp \left( {\frac{{2\nu _{{R_{2} }} (t_{i} )}}{{\nu _{{R_{1} }} (t_{i} ) + \nu _{{R_{2} }} (t_{i} )}}} \right)} \right)\,} \right] \hfill \\ \end{aligned}$$
(18)
$$\begin{aligned}&\mathsf {D}_{\mathsf {3}}^{\mathsf {c}} (\mathsf {R_1,R_2})= \frac{\mathsf {1}}{\mathsf {n}(\mathsf {1}-\frac{\mathsf {1}}{\sqrt{\mathsf {e}}})} \sum _{\mathsf {i=1}}^{\mathsf {n}} \Bigg [ \Bigg [ \frac{\mathsf {1}}{\mathsf {2}} \left( \mathsf {exp}\left\{ -\left( \frac{\mathsf {1}-\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})+\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {2}}\right) \right\} \right. \nonumber \\&\quad \left. + \mathsf {exp}\left\{ -\left( \frac{\mathsf {1}-\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})+\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {2}}\right) \right\} \right) \nonumber \\&-\mathsf {exp}\left\{ -\left( \frac{\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})+\nu _{\mathsf {R_2}} (\mathsf {t_{i}})+\mathsf {2}-\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})-\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {4}}\right) \right\} \Bigg ] \nonumber \\&\quad \quad \mathsf {I}_{[\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})\ge \nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})]} \nonumber \\&\quad + \Bigg [ \frac{\mathsf {1}}{\mathsf {2}} \left( \mathsf {exp}\left\{ -\left( \frac{\mathsf {1}+\xi _{\mathsf {R_1}} (\mathsf {t_{i}})-\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {2}}\right) \right\} \right. \nonumber \\&\quad \left. + \mathsf {exp}\left\{ -\left( \frac{\mathsf {1}+\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}}) -\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {2}}\right) \right\} \right) \nonumber \\&\quad - \mathsf {exp}\left\{ -\left( \frac{\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})+\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}}) +\mathsf {2}-\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})-\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {4}}\right) \right\} \Bigg ]\mathsf {I}_{[\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})< \nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})]} \end{aligned}$$
(19)
Recently, the author of [25] extended the two divergence measures for IFSs as follows:
$$\begin{aligned}&\mathsf {D}_{\mathsf {4}}^{\mathsf {c}} (\mathsf {R_1,R_2}) =\frac{\mathsf {1}}{\mathsf {n}(\sqrt{\mathsf {e}}-\mathsf {1})}\nonumber \\&\quad \sum _{\mathsf {i=1}}^{\mathsf {n}} \Bigg [ \Bigg [ \left\{ \frac{\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})+\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})+\mathsf {2}-\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})-\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {4}}\right\} \nonumber \\&\mathsf {exp}\left\{ \frac{\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})+\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}}) +\mathsf {2}-\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})-\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {4}}\right\} \nonumber \\&\quad + \left\{ \frac{\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})+\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})+\mathsf {2}-\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}}) -\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {4}}\right\} \nonumber \\&\mathsf {exp}\left\{ \frac{\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})+\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})+\mathsf {2}-\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}}) -\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {4}}\right\} \Bigg ] \nonumber \\&-\frac{\mathsf {1}}{\mathsf {2}} \Bigg [ \left\{ \frac{\mathsf {1}-\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}}) +\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {2}}\right\} \nonumber \\&\quad \quad \mathsf {exp}\left\{ \frac{\mathsf {1}+\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})-\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {2}}\right\} \nonumber \\&+ \left\{ \frac{\mathsf {1}+\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})-\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {2}}\right\} \mathsf {exp}\left\{ \frac{\mathsf {1}-\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})+\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {2}}\right\} \nonumber \\&\quad + \left\{ \frac{\mathsf {1}-\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})+\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {2}}\right\} \nonumber \\&\mathsf {exp}\left\{ \frac{\mathsf {1}+\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})-\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {2}}\right\} + \left\{ \frac{\mathsf {1}+\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})-\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {2}}\right\} \nonumber \\&\quad \quad \mathsf {exp}\left\{ \frac{\mathsf {1}-\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})+\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {2}}\right\} \Bigg ]\Bigg ] \end{aligned}$$
(20)
$$\begin{aligned}&\mathsf {D}_{\mathsf {5}}^{\mathsf {c}} (\mathsf {R_1,R_2})\nonumber \\&\quad =\frac{\mathsf {1}}{\mathsf {n}(\sqrt{\mathsf {e}}-\mathsf {1})} \sum _{\mathsf {i=1}}^{\mathsf {n}} \Bigg [ \Bigg [ \left\{ \frac{\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})+\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})+\mathsf {2}-\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})-\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {4}}\right\} \nonumber \\&\mathsf {exp}\left\{ \frac{\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})+\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})+\mathsf {2}-\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})-\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {4}}\right\} \nonumber \\&\quad +\left\{ \frac{\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})+\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})+\mathsf {2}-\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})-\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {4}}\right\} \nonumber \\&\mathsf {exp}\left\{ \frac{\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})+\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})+\mathsf {2}-\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})-\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {4}}\right\} \Bigg ] \nonumber \\&-\frac{\mathsf {1}}{\mathsf {2}} \Bigg [ \left\{ \frac{\mathsf {1}-\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})+\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {2}}\right\} \nonumber \\&\quad \quad \mathsf {exp}\left\{ \frac{\mathsf {1}-\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})+\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {2}}\right\} \nonumber \\&\quad +\left\{ \frac{\mathsf {1}+\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})-\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {2}}\right\} \mathsf {exp}\left\{ \frac{\mathsf {1}+\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})-\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {2}}\right\} \nonumber \\&\quad + \left\{ \frac{\mathsf {1}-\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})+\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {2}}\right\} \nonumber \\&\quad \quad \mathsf {exp}\left\{ \frac{\mathsf {1}-\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})+\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {2}}\right\} + \left\{ \frac{\mathsf {1}+\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})-\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {2}}\right\} \nonumber \\&\quad \quad \mathsf {exp}\left\{ \frac{\mathsf {1}+\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})-\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {2}}\right\} \Bigg ]\Bigg ] \end{aligned}$$
(21)
An ELECTRE method based on IF divergence was used to find the performance of mobile phone service providers in [20], and to this purpose, the next divergence measure was defined:
$$\begin{aligned}&\mathsf {D}_{\mathsf {6}}^{\mathsf {c}} (\mathsf {R_1,R_2})=\frac{\mathsf {-1}}{\mathsf {nln2}} \sum _{\mathsf {i=1}}^{\mathsf {n}} \Bigg [ \Bigg [ \left( \frac{\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})+\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {2}} \right) \nonumber \\&\quad \mathsf {ln} \left( \frac{\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})+\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})}{\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})+\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}}) + \nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})+\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})} \right) \nonumber \\&\qquad + \left( \frac{\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})+\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {2}} \right) \mathsf {ln} \left( \frac{\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})+\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})}{\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})+\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}}) + \nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})+\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})} \right) \nonumber \\&\quad \quad - \left( \frac{\pi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})+\pi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})}{\mathsf {2}} \right) \mathsf {ln2} \Bigg ] \nonumber \\&\qquad \frac{\mathsf {-1}}{\mathsf {2}} \Bigg [ \xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}}) \mathsf {ln} \left( \frac{\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})}{\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}}) +\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})} \right) \nonumber \\&\quad \quad + \nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}}) \mathsf {ln} \left( \frac{\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})}{\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})+\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})}
\right) \nonumber \\&\quad \quad + \xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}}) \mathsf {ln} \left( \frac{\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})}{\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})+\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})} \right) \nonumber \\&\qquad + \nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}}) \mathsf {ln} \left( \frac{\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})}{\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})+\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})} \right) \nonumber \\&\quad \quad - \left( \pi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})+\pi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}}) \right) \mathsf {ln2} \Bigg ] \Bigg ] \end{aligned}$$
(22)
The VIKOR method based on Shapley IF divergence was used to solve MCDM problems in [24], and the procedure used the Shapley divergence measure defined as follows:
$$\begin{aligned}&\mathsf {D}_{\mathsf {7}}^{\mathsf {c}} (\mathsf {R_1,R_2})=\frac{\mathsf {1}}{\mathsf {2n}(\mathsf {1} -\frac{\mathsf {1}}{\mathsf {e}})} \sum _{\mathsf {i=1}} ^{\mathsf {n}} \Bigg [ \Bigg [\mathsf {exp}\left\{ -\left( \frac{(\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}}) -\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})) + (\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})-\nu _ {\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}}))}{\mathsf {2}} \right) \right\} \nonumber \\&\quad + \mathsf {exp} \left\{ -\left( \frac{(\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})-\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})) + (\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})-\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}}))}{\mathsf {2}}\right) \right\} \nonumber \\&\quad -\mathsf {2} \Bigg ]\mathsf {I}_ {[\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})\ge \nu _{\mathsf {R_1}} (\mathsf {t_{i}})]} \nonumber \\&\Bigg [\mathsf {exp} \left\{ -\left( \frac{(\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})- \xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})) (\nu _{\mathsf {R_1}} (\mathsf {t_{i}})-\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}}))} {\mathsf {2}}\right) \right\} \nonumber \\&\quad + \mathsf {exp}\left\{ -\left( \frac{(\xi _{\mathsf {R_1}} (\mathsf {t_{i}})-\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})) + (\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})-\nu _{\mathsf {R_1}} (\mathsf {t_{i}}))}{\mathsf {2}}\right) \right\} -\mathsf {2} \Bigg ]\mathsf {I}_[\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})& \le \nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})] \Bigg ] \end{aligned}$$
(23)
$$\begin{aligned}&\mathsf {D}_{\mathsf {8}}^{\mathsf {c}} (\mathsf {R_1,R_2})\nonumber \\&\quad = \sum _{\mathsf {i=1}}^{\mathsf {n}} \Bigg [ \mathsf {2}- \left( \frac{\mathsf {2}+(\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})-\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})) + (\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})-\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}}))}{\mathsf {2}}\right) \nonumber \\&\quad \mathsf {exp}\left\{ \left( \frac{(\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})-\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})) + (\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})-\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}}))}{\mathsf {2}}\right) \right\} \nonumber \\&\quad \quad -\left( \frac{\mathsf {2}+( \xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})-\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})) + (\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})-\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}}))}{\mathsf {2}}\right) \nonumber \\&\quad \mathsf {exp}\left\{ \left( \frac{(\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})-\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})) + (\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})-\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}}))}{2}\right) \right\} \Bigg ] \end{aligned}$$
(24)
Ohlan [23] defined another divergence measure for IFSs as follows:
$$\begin{aligned}&\mathsf {D}_{\mathsf {9}}^{\mathsf {c}}(\mathsf {R_1,R_2})= \sum _{\mathsf {i=1}}^{\mathsf {n}} \Bigg [ \mathsf {2}- \left( \mathsf {1}-\frac{(\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})-\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})) - (\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})-\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}}))}{\mathsf {2}}\right) \nonumber \\&\quad \mathsf {exp}\left\{ \left( \frac{(\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})-\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})) - (\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})-\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}}))}{\mathsf {2}}\right) \right\}\\ & \quad \quad -\left( \mathsf {1}+\frac{(\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})-\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})) - (\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})-\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}}))}{\mathsf {2}}\right) \nonumber \\&\quad \mathsf {exp}\left\{ \left( \frac{(\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})-\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}}))-(\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})-\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})) }{\mathsf {2}}\right) \right\} \Bigg ] \end{aligned}$$
(25)
It is important to note that the divergence measures \(\mathsf {D}_{\mathsf {8}}^{\mathsf {c}}\) and \(\mathsf {D}_{\mathsf {9}}^{\mathsf {c}}\) are the same. \(\mathsf {D}_{\mathsf {9}}^{\mathsf {c}}\) was proposed in [23] in 2016, while \(\mathsf {D}_{\mathsf {8}}^{\mathsf {c}}\) was proposed in [24] in 2019.
Rani et al. [19] discussed the IF divergence-based TODIM method for MCDM problems and the corresponding divergence measure is defined as follows:
$$\begin{aligned}&\mathsf {D}_{\mathsf {10}}^{\mathsf {c}} (\mathsf {R_1,R_2}) =\frac{\mathsf {1}}{\mathsf {n}} \sum \limits _{\mathsf {i=1}}^{\mathsf {n}} \Bigg [ \mid \xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})-\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}}) \mid \mathsf {exp} \left( \mathsf {2}\frac{ \mid \xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})-\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}}) \mid }{\xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})+\xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})} \right) \nonumber \\&\quad + \mid \nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})-\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}}) \mid \mathsf {exp} \left( \mathsf {2}\frac{\mid \nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})-\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}}) \mid }{\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})+\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})} \right) \\ & \quad+ \mid \pi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})-\pi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}}) \mid \mathsf {exp} \left( \mathsf {2}\frac{\mid \pi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})-\pi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}}) \mid }{\pi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})+\pi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})} \right) \Bigg ] \end{aligned}$$
(26)
Joshi and Kumar [27] discussed the applications of Jensen-Tsalli’s IF divergence measure in medical diagnosis and pattern recognition.
$$\begin{aligned}&\mathsf {D}_{\mathsf {11}}^{\mathsf {c}} (\mathsf {R_1,R_2}) = \frac{\mathsf {1}}{\mathsf {1-p}} \Bigg ( \left( \alpha _{\mathsf {2}} \xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})+\alpha _{\mathsf {1}} \xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})\right) ^\mathsf {p}+\left( \alpha _{\mathsf {2}} \nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})+\alpha _{\mathsf {1}} \nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})\right) ^\mathsf {p} + \left( \alpha _{\mathsf {2}} \pi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})+\alpha _{\mathsf {1}} \pi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})\right) ^\mathsf {p} \nonumber \\&\quad\quad-\alpha _{\mathsf {2}} \left( \xi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})^\mathsf {p}+\pi _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})^\mathsf {p}+\nu _{\mathsf {R_2}}(\mathsf {t_{i}})^\mathsf {p}\right) -\alpha _{\mathsf {1}} \left( \xi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})^\mathsf {p}+\pi _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})^\mathsf {p}+\nu _{\mathsf {R_1}}(\mathsf {t_{i}})^\mathsf {p}\right) \Bigg ) \end{aligned}$$
(27)
where \(\mathsf {p \in (0,1)}\) and \(\alpha _{\mathsf {1}} + \alpha _{\mathsf {2}} = \mathsf {1}\).
