A multiproduct single machine economic production quantity (EPQ) inventory model with discrete delivery order, joint production policy and budget constraints

Abstract

This paper develops a multiproduct economic production quantity inventory model for a vendor–buyer system in which several products are manufactured on a single machine. The vendor delivers the products to customer in small batches. The number of orders must be a discrete value. Moreover, benefitting from a just-in-time policy, the buyer decides the size of the delivered batches. Due to the fact that several products are manufactured on one machine, this makes that the production capacity be considered as a constraint. The aim of this study is to determine the optimal cycle length and the number of delivered batches for each product so that the total inventory cost is minimized. The problem under study is modeled as a mixed integer nonlinear programing problem considering maximum number of orders, capacity and budget constraints. Three different methods are developed and employed to solve this problem: an exact method, a heuristic algorithm and a hybrid genetic algorithm. Based on the results, the three algorithms have near efficiency with different running times. The results shows that the heuristic algorithm obtains a good solution in a short time and the hybrid genetic algorithm finds solutions with higher quality in an acceptable time. Finally, a sensitivity analysis is done to evaluate the effect of changes in the parameters of problem.

Appendices

Appendix A: Coefficients of the objective function in Eq. (21)

$$\begin{aligned} \sum _i {\Delta _i^1 \left( \frac{1}{T}\right) }= & {} \sum _i {\left[ {A_i +Av_i } \right] } \left( {\frac{1}{T}} \right) ; \,\, \Delta _i^1 >0 \end{aligned}$$

(A.1)

$$\begin{aligned} \sum _i {\Delta _i^2 (T)}= & {} \sum _i {\left[ {\frac{hv_i D_i }{2}\left( {1-\frac{D_i }{P_i }} \right) } \right] } \left( T \right) ; \,\,\Delta _i^2 >0 \end{aligned}$$

(A.2)

$$\begin{aligned} \sum _i {\left( {\Delta _i^3 K_i } \right) \left( {\frac{1}{T}} \right) }= & {} \sum _i {\left( {b_i K_i } \right) } \left( {\frac{1}{T}} \right) ; \,\,\Delta _i^3 >0 \end{aligned}$$

(A.3)

$$\begin{aligned} \sum _i {\frac{\Delta _i^4 }{K_i }} \left( T \right)= & {} \sum _i {\left( {\frac{\left( {h_i +hv_i } \right) D_i }{2K_i }} \right) T} ; \,\,\Delta _i^4 >0 \end{aligned}$$

(A.4)

Appendix B: Hessian matrix to prove the convexity of the objective function (TC)

$$\begin{aligned} H= & {} [T,K_1 ,K_2 ,\ldots ,K_n ] \left[ {{\begin{array}{llll} {\frac{\partial ^{2}TC}{\partial ^{2}T}}&{} {\frac{\partial ^{2}TC}{\partial T\partial K_1 }}&{} {\frac{\partial ^{2}TC}{\partial T\partial K_2 }}&{} {{\begin{array}{ll} \cdots &{} {\frac{\partial ^{2}TC}{\partial T\partial K_n }} \\ \end{array} }} \\ {\frac{\partial ^{2}TC}{\partial K_1 \partial T}}&{} {\frac{\partial ^{2}TC}{\partial ^{2}K_1 }}&{} {\frac{\partial ^{2}TC}{\partial K_1 \partial K_2 }}&{} {{\begin{array}{ll} \cdots &{} {\frac{\partial ^{2}TC}{\partial K_1 \partial K_n }} \\ \end{array} }} \\ {\frac{\partial ^{2}TC}{\partial K_2 \partial T}}&{} {\frac{\partial ^{2}TC}{\partial K_2 \partial K_1 }}&{} {\frac{\partial ^{2}TC}{\partial ^{2}K_2 }}&{} {{\begin{array}{ll} \cdots &{} {\frac{\partial ^{2}TC}{\partial K_2 \partial K_n }} \\ \end{array} }} \\ {{\begin{array}{ll} \vdots \\ {\frac{\partial ^{2}TC}{\partial K_n \partial T}} \\ \end{array} }}&{} {{\begin{array}{l} \vdots \\ {\frac{\partial ^{2}TC}{\partial K_n \partial K_1 }} \\ \end{array} }}&{} {{\begin{array}{ll} \vdots \\ {\frac{\partial ^{2}TC}{\partial K_n \partial K_2 }} \\ \end{array} }}&{} {{\begin{array}{ll} {{\begin{array}{l} \vdots \\ \cdots \\ \end{array} }}&{} {{\begin{array}{ll} \vdots \\ {\frac{\partial ^{2}TC}{\partial ^{2}K_n }} \\ \end{array} }} \\ \end{array} }} \\ \end{array} }} \right] \left[ {{\begin{array}{l} {{\begin{array}{l} T \\ {K_1 } \\ \end{array} }} \\ {K_2 } \\ \vdots \\ {K_n } \\ \end{array} }} \right] \\ \frac{\partial TC}{\partial T}= & {} \frac{-\sum \limits _i {\left( {\Delta _i^1 +\Delta _i^3 K_i } \right) } }{T^{2}}+\sum _i {\left( {\Delta _i^2 +\frac{\Delta _i^4 }{K_i }} \right) } ; \\ \frac{\partial ^{2}TC}{\partial ^{2}T}= & {} \frac{2\sum \limits _i {\left( {\Delta _i^1 +\Delta _i^3 K_i } \right) } }{T^{3}} ;\,\, \frac{\partial ^{2}TC}{\partial K_i \partial K_j }=0 \\ \frac{\partial TC}{\partial K_i }= & {} +\frac{\Delta _i^3 }{T}-\frac{\Delta _i^4 }{K_i^2 }T ;\,\, \frac{\partial ^{2}TC}{\partial ^{2}K_i }=\frac{2\Delta _i^4 }{K_i^3 }T; \,\,\frac{\partial ^{2}TC}{\partial TC\partial K_i }=\frac{\partial ^{2}TC}{\partial TC\partial T}=\frac{\partial ^{2}TC}{\partial K_i \partial T}\\= & {} -\frac{\Delta _i^3 }{T^{2}}-\frac{\Delta _i^4 }{K_i^2 } \\ \end{aligned}$$

Therefore

$$\begin{aligned} \hbox {H}= & {} \left[ {\frac{\sum \limits _i {\left( {2\Delta _i^1 +\Delta _i^3 K_i } \right) } }{T^{2}}-\sum _{i=1} {\left( {\frac{\Delta _i^4 }{K_i }} \right) } ,\frac{\Delta _1^4 T}{K_1^2 }-\frac{\Delta _1^3 }{T},\frac{\Delta _2^4 T}{K_2^2 }-\frac{\Delta _2^3 }{T},\ldots ,\frac{\Delta _n^4 T}{K_n^2 }-\frac{\Delta _n^3 }{T},} \right] \\&\left[ {{\begin{array}{l}\\ {{\begin{array}{l} T \\ {K_1 } \\ \end{array} }} \\ {K_2 } \\ \vdots \\ {K_n } \\ \end{array} }} \right] \\= & {} \frac{\sum \limits _i {\left( {2\Delta _i^1 } \right) } }{T}+\sum _{i=1} {\left( {\frac{\Delta _i^4 }{K_i }} \right) T\ge 0} ;\quad \left( {T,K_i ,\Delta _i^1 ,\Delta _i^3 \ge 0} \right) {\textit{ Hessian Matrix is P.S.D}} \end{aligned}$$

Appendix C: Finding the optimal solution for the cycle length

$$\begin{aligned} \frac{\partial TC}{\partial K_i }= & {} +\frac{\Delta _i^3 }{T}-\frac{\Delta _i^4 }{K_i^2 }T=0 \rightarrow K_i =\sqrt{\frac{\Delta _i^4 T^{2}}{\Delta _i^3 }} \end{aligned}$$

(C.1)

$$\begin{aligned} \frac{\partial TC}{\partial T}= & {} \frac{-\sum \limits _i {\left( {\Delta _i^1 +\Delta _i^3 K_i } \right) } }{T^{2}}+\sum _i {\left( {\Delta _i^2 +\frac{\Delta _i^4 }{K_i }} \right) } =0 \end{aligned}$$

(C.2)

Based on Eq. (C.1),

$$\begin{aligned} T=\sqrt{\frac{\sum \limits _{i=1}^n {\left\{ {\Delta _i^1 } \right\} } }{\sum \limits _{i=1}^n {\left\{ {\Delta _i^2 } \right\} } }} \end{aligned}$$

(C.3)

Appendix D: Finding the $K_i$ ‘s solution

With respect to Cárdenas-Barrón et al. (2014a, b) the objective function related to $K_i$ can be rewritten as follows:

$$\begin{aligned} X=\sum _i {\left( {\frac{\Delta _i^3 }{T}\left( {K_i } \right) +\Delta _i^4 T\left( {\frac{1}{K_i }} \right) } \right) } \end{aligned}$$

(D.1)

García-Laguna et al. (2010) showed that discrete solution to the following minimization problem:

$$\begin{aligned}&{ min}\, s_1 Q+s_2 /Q; \hbox { where both } s_{1} \hbox { and } s_{2} \hbox { are positive}\\&Q>0 \hbox { and integer} \end{aligned}$$

is as follows:

$$\begin{aligned} Q=\left\lceil {- 0.5+\sqrt{0.25+\frac{s_2 }{s_1 }}} \right\rceil \hbox { or } Q=\left\lfloor {0.5+\sqrt{0.25+\frac{s_2 }{s_1 }}} \right\rfloor \end{aligned}$$

(D.2)

where $\lceil {r}\rceil$ is the samllest integer greater than or equal to r, and $\lfloor {r}\rfloor$ is the largest integer less than or equal to r . Based on Eq. (D.1), the solution for each discrete variable ($K_i$) is as follows:

$$\begin{aligned} K_i =\left\lceil {-0.5+\sqrt{0.25+\frac{\Delta _i^4 T^{2}}{\Delta _i^3 }}} \right\rceil \textit{ or } K_i =\left\lfloor {0.5+\sqrt{0.25+\frac{\Delta _i^4 T^{2}}{\Delta _i^3 }}} \right\rfloor \end{aligned}$$

(D.3)

Appendix E: Data of the problems

Instance	Values
1	$\hbox {n}=1$; $\hbox {A}=55$; $\hbox {Av}=601$; $\hbox {D}=3050$; $\hbox {M}=12$; $\hbox {P}=34021$; $\hbox {S}=0.031254215825$; $\hbox {b}=17$; $\hbox {c}=32$; $\hbox {h}=11$; $\hbox {hv}=7$; $\hbox {Bg}=210564$;
2	$\hbox {n}=2$; $\hbox {A}=[57;54;$]; $\hbox {Av}= [605;506;$]; $\hbox {D}=[3304;3585;$]; $\hbox {M}= [20;13;$]; $\hbox {P}=[34184;33209;$]; $\hbox {S}= [0.0105049440381213;0.0107826303120975;$]; $\hbox {b}= [18;19;$]; $\hbox {c}=[50;42$; $\hbox {h}=[14;15;]$; $\hbox {hv}=[7;9;$]; $\hbox {Bg}=200000$;
3	$\hbox {n}=3$; $\hbox {A}=[60;41;48;$]; $\hbox {Av}=[588;573;652;$]; $\hbox {D}=[3034;3106;3230;$]; $\hbox {M}=[16;19;15;$]; $\hbox {P}=[35078;35196;31741;$]; $\hbox {S}$=[0.0223815747373719; 0.0431007305419610; 0.0256422317325111; ]; $\hbox {b}=[20;19;19;$]; $\hbox {c}=[57;34;54;$]; $\hbox {h}=[14;12;13;$]; $\hbox {hv}=[8;6;6;$]; $\hbox {Bg}=220000;$
4	$\hbox {n}=4$; $\hbox {P}=[20000;25000;30000;35000$]; $\hbox {D}=[3000;4000;5000;6000$]; $\hbox {A}=[50;49;48;47]$; $\hbox {Av}=[300;350;400;450$]; $\hbox {b}=[15;16;17;18$]; $\hbox {c}=[60;50;40;30$]; $\hbox {h}=[10;11;12;13$]; $\hbox {hv}=[5;6;7;8$]; $\hbox {S}=[0.010;0.011;0.012;0.013$]; $\hbox {M}=[10;11;12;13$]; $\hbox {Bg}=200000$;
5	$\hbox {n}=5$; $\hbox {A}=[48;57;42;57;54;$]; $\hbox {Av}=[621;633;638;605;506;$]; $\hbox {D}=[3490;3392;3304;3585;3810;$]; $\hbox {M}=[25;23;12;20;27;$]; $\hbox {P}=[37432;38886;34178;34184;33209;$]; $\hbox {S}=[0.0123850047313383$; 0.0104662927574031; 0.0105868898071024; 0.0105049440381213; 0.0107826303120975; ]; $\hbox {b}=[18;19;17;17;20;$]; $\hbox {c}=[60;35;50;35;42;$]; $\hbox {h}=[14;15;14;11;12;$]; $\hbox {hv}=[6;9;9;7;9;$]; $\hbox {Bg}=300000$;
6	$\hbox {n}=6$; $\hbox {A}=[56;41;49;54;59;58;$]; $\hbox {Av}=[599;564;606;531;679;517;$]; $\hbox {D}=[3698;3283;3768;3729;3745;3992;$]; $\hbox {M}=[14;12;14;16;14;15;$]; $\hbox {P}=[44292;45707;48886;48170;46883;46293;$]; $\hbox {S}=[0.0102325506160998$; 0.0126011032672879; 0.0142823788966337; 0.0105199928051386; 0.0132451259154651; 0.0121322355691141;]; $\hbox {b}=[16;19;19;17;20;19;$]; $\hbox {c}=[47;56;36;51;56;56;$]; $\hbox {h}=[13;11;14;15;13;15;$]; $\hbox {hv}=[9;8;9;9;9;7;$]; $\hbox {Bg}=340000$;

Instance	Values
7	$\hbox {n}=7$; $\hbox {A}=[43;60;57;46;56;54;51$]; $\hbox {Av}=[683;598;687;510;660;533;640$]; $\hbox {b}=[19;20;19;16;16;16;20$]; $\hbox {c}=[33;35;53;55;45;45;59]$; $\hbox {D}=[3906;3971;3036;3032;3382;3680;3256]$; $\hbox {h}=[12;13;14;14;13;15;13]$; $\hbox {hv}=[8;10;7;7;9;7;6$]; $\hbox {M}=[28;28;14;11;24;15;15]$; $\hbox {P}=[58148;51577;56558;57061;54388;52761;57513]$; $\hbox {S}=[0.00678753417717149$; 0.00596103664779777; 0.00527738945088778; 0.00675111024419178; 0.00554682415429036; 0.00492633875489889; 0.00274647002779529]; $\hbox {Bg}=600000$;
8	$\hbox {n}=8$; $\hbox {A}=[44;51;49;47;59;46;50;60;$]; $\hbox {Av}=[543;644;688;567;607;628;556;655;$]; $\hbox {D}=[3881;3283;3048;3665;3762;3428;3173;3445;$]; $\hbox {M}=[21;11;13;16;20;14;15;17;$]; $\hbox {P}=[55155;52790;50621;50841;55832;50598;59402;59772;$]; $\hbox {S}=[0.00558092416972521;0.00545914149027077$; 0.00426036592499336; 0.00571323607021602; 0.00477255987896942; 0.00596349952839672; 0.00407898304411736; 0.00537758276671398;]; $\hbox {b}=[16;16;18;16;16;20;20;16;]$; $\hbox {c}=[42;46;41;35;57;47;56;39;$]; $\hbox {h}=[15;12;15;13;15;13;12;13;$]; $\hbox {hv}=[9;6;10;7;7;10;9;9;$]; $\hbox {Bg}=500000$;
9	$\hbox {n}=9$; $\hbox {A}=[57;52;51;47;45;41;44;48;59$]; $\hbox {Av}=[549;610;656;606;683;655;553;603;689$]; $\hbox {b}=[20;20;20;16;16;20;16;18;18$]; $\hbox {c}=[41;39;34;49;55;57;35;33;45$]; $\hbox {D}=[3255;3831;3054;3795;3084;3962;3911;3623;3050$]; $\hbox {h}=[11;14;13;12;13;11;15;12;12$]; $\hbox {hv}=[7;9;8;9;10;7;8;6;10$]; $\hbox {M}=[19;21;17;24;18;25;13;15;13$]; $\hbox {P}=[58408;53517;50759;51622;54506;51067;54315;58531;54173$]; $\hbox {S}=[0.00508022338073320;0.00390222923487678$; 0.00205951034750621; 0.00544607251570004; 0.00239087764376592; 0.00329935201425327; 0.00474930100918166; 0.00291953894141208; 0.00384623390560108]; $\hbox {Bg}=3500000$;
10	$\hbox {n}=10$; $\hbox {A}=[42;56;52;55;54;56;55;54;43;50;$]; $\hbox {Av}=[686;604;507;553;639;580;599;656;571;553;$]; $\hbox {D}=[3100;3667;3128;3405;3912;3679;3990;3447;3208;3758;$]; $\hbox {M}=[16;19;20;19;21;13;16;19;14;15;$]; $\hbox {P}=[59821;54299;550821;59572;42408;59514;50261;55099;58458;58049;$]; $\hbox {S}=[0.0112106973483762;0.0123850047313383$; 0.0104662927574031; 0.0105868898071024; 0.0105049440381213; 0.0107826303120975; 0.0146195488032070; 0.0127347829716488; 0.0122802530908873; 0.0147300508601312; ]; $\hbox {b}=[20;17;20;19;16;16;18;18;20;19;$]; $\hbox {c}=[32;37;49;46;34;48;56;46;42;39;$]; $\hbox {h}=[13;14;14;12;15;13;12;12;11;13;$]; $\hbox {hv}=[6;8;10;6;9;9;8;9;7;7;$]; $\hbox {Bg}=600000;$
11	$\hbox {n}=11$; $\hbox {A}=[51;46;59;43;59;50;45;53;49;53;45$]; $\hbox {Av}=[661;522;637;621;666;532;593;658;618;631;627$]; $\hbox {b}=[19;20;17;18;20;20;19;17;17;18;20$]; $\hbox {c}=[49;59;41;47;44;43;55;57;39;44;34$]; $\hbox {D}=[3606;3834;3287;3786;3160;3937;3363;3045;3501;3085;3984$]; $\hbox {h}=[14;14;11;13;14;15;13;14;15;15;12$]; $\hbox {hv}=[9;6;8;9;7;9;9;7;10;8;8$]; $\hbox {M}=[13;22;21;16;25;28;17;23;22;11;12$]; $\hbox {P}=[50208;50930;57145;53449;56217;50570;55018;54236;57847;53903;55382$]; $\hbox {S}=[0.00385339917260576;0.00461031799286026$; 0.00411266385695393; 0.00280289708476204; 0.00369271920696948; 0.00622026239569885; 0.00604689568753645; 0.00602169571331641; 0.00365567075234566; 0.00552936138165679; 0.00668604035871797]; $\hbox {Bg}=3800000;$

Instance	Values
12	$\hbox {n}=12$; $\hbox {A}=[41;58;58;52;55;46;48;59;44;54;60;54;$]; $\hbox {Av}=[633;691;571;534;537;586;538;700;613;580;557;696;$]; $\hbox {D}=[3205;3029;3602;3114;3887;3379;3901;3382;3263;3731;3960;3634;$]; $\hbox {M}=[19;17;14;22;16;14;15;22;20;16;14;15;$]; $\hbox {P}=[59321;55999;50635;55204;55925;58121;50605; 59975;50464;55315;59200;59863;$]; $\hbox {S}=[0.00237863576838945$; 0.00382980277900154; 0.00499054393073464; 0.00599315969209121; 0.00487304632324858; 0.00250462689790922; 0.00438018680446738; 0.00607685421754563; 0.00448374817424293; 0.00596048077678951; 0.00393611042939634; 0.00507283635939654;]; $\hbox {b}=[20;20;18;17;16;20;16;20;18;17;18;16;$]; $\hbox {c}=[39;43;34;43;39;32;52;34;48;47;40;35;$]; $\hbox {h}=[15;13;13;15;12;12;15;13;15;11;15;14;$]; $\hbox {hv}=[10;8;8;10;10;7;7;7;7;9;8;10;$]; $\hbox {Bg}=600000$;
13	$\hbox {n}=13$; $\hbox {A}=[44;50;53;41;53;41;53;58;56;59;45;48;58;$]; $\hbox {Av}=[555;547;695;506;638;658;534;683;634;578;622;675;540;$]; $\hbox {D}=[2778;2137;2528;2460;2105;2701;2959;2460; 2873;2642;2276;2761;2991;$]; $\hbox {M}=[14;15;13;21;19;13;17;19;19;21;16;15;20$]; $\hbox {P}$=[52744; 50342; 53649; 56925; 54998; 54610; 52517; 56333; 53833; 56258; 50115; 56042; 58217; ]; $\hbox {S}=[0.00697373984745531$; 0.00538728179008673; 0.00276067059238642; 0.00260025609984255; 0.00507142546058900; 0.00565465614936918; 0.00655004298127819; 0.00330371122544336; 0.00604773567906445; 0.00627909944120329; 0.00286204644589195; 0.00585936904264751; 0.00495586503648693; ]; $\hbox {b}=[17;17;18;19;17;17;20;20;19;19;17;18;18;$]; $\hbox {c}=[49;56;45;42;54;55;56;42;34;36;33;47;43;$]; $\hbox {h}=[11;15;13;11;12;11;15;14;12;14;12;11;12;$]; $\hbox {hv}=[7;10;6;9;10;6;10;9;10;8;8;8;10;$]; $\hbox {Bg}=800000$;
14	$\hbox {n}=14$; $\hbox {A}=[43;60;57;46;56;54;51;57;52;51;47;45;41;44$]; $\hbox {Av}=[683;598;687;510;660;533;640;549;610;656;606;683;655;553$]; $\hbox {D}=[3906;3971;3036;3032;3382; 3680;3256;3255;3831;3054; 3795;3084;3962;3911$]; $\hbox {M}=[22;22;13;11;20;13;14; 16;17;15;19;16;20;12$]; $\hbox {P}$=[58148; 51577; 56558; 57061; 54388; 52761; 57513; 58408; 53517; 50759; 51622; 54506; 51067; 54315]; $\hbox {S}= [0.00678753417717149$; 0.00596103664779777; 0.00527738945088778; 0.00675111024419178; 0.00554682415429036; 0.00492633875489889; 0.00274647002779529; 0.00508022338073320; 0.00390222923487678; 0.00205951034750621; 0.00544607251570004; 0.00239087764376592; 0.00329935201425327; 0.00474930100918166]; $\hbox {b}=[19;20;19;16;16;16;20;20;20;20;16;16;20;16$]; $\hbox {c}=[33;35;53;55;45;45;59;41;39;34;49;55;57;35$]; $\hbox {h}=[12;13;14;14;13;15;13;11;14;13;12;13;11;15$]; $\hbox {hv}=[8;10;7;7;9;7;6;7;9;8;9;10;7;8$]; $\hbox {Bg}=4000000$;
15	$\hbox {n}=15$; $\hbox {A}=[48;59;45;57;55;50;57;50;49;53;57;51;59;50;51$]; $\hbox {Av}=[603;689;581;504;538;588;607;547; 537;643;506;547;660;656;596$]; $\hbox {b}=[18;18;16;16;19;18;17; 20;20;17;20;18;16;19;20$]; $\hbox {c}=[33;45;34;36;36;40;59; 36;60;34;52;49;38;58;49$]; $\hbox {D}=[3623$; 3050; 3390; 3354; 3297; 3776; 3379; 3302; 3924; 3263; 3263; 3547; 3886; 3654; 3745]; $\hbox {P}=[58531$; 54173; 57803; 52348; 55471; 59294; 56444; 52078; 53112; 55949; 50856; 59631; 50378; 51068; 50306]$; \hbox {S}$=[0.00291953894141208; 0.00384623390560108; 0.00487604297539233; 0.00523872981568153; 0.00590113717575688; 0.00608813854161131; 0.00511237543000614; 0.00313832148908277; 0.00329032347956033; 0.00412083379856904; 0.00318641789885761; 0.00383718324272238; 0.00268276568677685; 0.00549372916167397; 0.00602744712264843]; $\hbox {h}=[12;12;15;14;12;13;15;12;13;12;13;14;12;15;14$]; $\hbox {hv}=[6;10;10;9;9;8;8;6;6;7;8;7;9;7;10$]; $\hbox {M}=[15;13;12;19;12;25;21;18;18;20;19;28;23;14;21$]; $\hbox {Bg}=5000000$;