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An Experiment with Satisfiability Modulo SAT

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Abstract

In recent years, the approach of satisfiability modulo theories (SMT) has been very successful in solving many constraint satisfaction problems. In a typical SMT solver, the base constraints are expressed as a set of propositional clauses, where each Boolean variable is an abstraction of an atomic formula of first-order logic and the interpretation of the formula is constrained by a background theory. A widely studied theory is the linear pseudo-Boolean logic. Following this approach, we present an experiment of a SMT solver where the background theory can be specified in propositional logic and implemented by a procedure. We chose such a procedural background theory because we found no better ways to attack a previously open problem in combinatorial design, i.e., the existence of diagonally ordered magic squares of all orders.

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Authors and Affiliations

  1. Computer Science Department, The University of Iowa, Iowa City, IA, 52242, USA

    Hantao Zhang

Authors
  1. Hantao Zhang
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Correspondence to Hantao Zhang.

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Dedicated to the memory of Mark E. Stickel, friend and colleague.

Appendix: SISORLMA(n) for \(n\in \{5 - 13, 15, 19, 23\}\)

Appendix: SISORLMA(n) for \(n\in \{5 - 13, 15, 19, 23\}\)

$$\begin{aligned} {(5)}:\left( \begin{array}{c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c} 0 &{} 2 &{} 3 &{} 1 &{} 4 \\ 4 &{} 1 &{} 0 &{} 3 &{} 2 \\ 4 &{} 3 &{} 2 &{} 1 &{} 0 \\ 2 &{} 1 &{} 4 &{} 3 &{} 0 \\ 0 &{} 3 &{} 1 &{} 2 &{} 4 \end{array} \right) ~~~~ {(6)}:\left( \begin{array}{c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c} 0 &{} 4 &{} 2 &{} 3 &{} 1 &{} 5 \\ 0 &{} 1 &{} 3 &{} 2 &{} 4 &{} 5 \\ 5 &{} 1 &{} 2 &{} 3 &{} 4 &{} 0 \\ 5 &{} 4 &{} 2 &{} 3 &{} 1 &{} 0 \\ 5 &{} 1 &{} 3 &{} 2 &{} 4 &{} 0 \\ 0 &{} 4 &{} 3 &{} 2 &{} 1 &{} 5 \end{array} \right) ~~~~ {(7)}:\left( \begin{array}{c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c} 0 &{} 1 &{} 2 &{} 4 &{} 3 &{} 5 &{} 6 \\ 6 &{} 1 &{} 4 &{} 3 &{} 2 &{} 5 &{} 0 \\ 3 &{} 5 &{} 2 &{} 6 &{} 4 &{} 0 &{} 1 \\ 1 &{} 6 &{} 4 &{} 3 &{} 2 &{} 0 &{} 5 \\ 5 &{} 6 &{} 2 &{} 0 &{} 4 &{} 1 &{} 3 \\ 6 &{} 1 &{} 4 &{} 3 &{} 2 &{} 5 &{} 0 \\ 0 &{} 1 &{} 3 &{} 2 &{} 4 &{} 5 &{} 6 \end{array} \right) \end{aligned}$$
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$$\begin{aligned} {(13):} \left( \begin{array}{c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c} 0 &{} 11 &{} 9 &{} 10 &{} 8 &{} 4 &{} 2 &{} 5 &{} 3 &{} 1 &{} 6 &{} 7 &{} 12 \\ 12 &{} 1 &{} 2 &{} 10 &{} 4 &{} 3 &{} 6 &{} 7 &{} 0 &{} 9 &{} 8 &{} 11 &{} 5 \\ 1 &{} 8 &{} 2 &{} 0 &{} 9 &{} 6 &{} 4 &{} 7 &{} 3 &{} 5 &{} 10 &{} 12 &{} 11 \\ 7 &{} 1 &{} 6 &{} 3 &{} 2 &{} 10 &{} 11 &{} 8 &{} 4 &{} 9 &{} 12 &{} 0 &{} 5 \\ 5 &{} 12 &{} 2 &{} 1 &{} 4 &{} 9 &{} 10 &{} 6 &{} 8 &{} 7 &{} 0 &{} 11 &{} 3 \\ 9 &{} 10 &{} 12 &{} 4 &{} 11 &{} 5 &{} 2 &{} 7 &{} 3 &{} 6 &{} 1 &{} 0 &{} 8 \\ 11 &{} 1 &{} 2 &{} 7 &{} 12 &{} 5 &{} 6 &{} 3 &{} 9 &{} 10 &{} 4 &{} 8 &{} 0 \\ 1 &{} 6 &{} 9 &{} 11 &{} 10 &{} 5 &{} 4 &{} 7 &{} 0 &{} 12 &{} 8 &{} 2 &{} 3 \\ 12 &{} 5 &{} 11 &{} 7 &{} 4 &{} 6 &{} 10 &{} 1 &{} 8 &{} 2 &{} 9 &{} 3 &{} 0 \\ 4 &{} 6 &{} 10 &{} 3 &{} 0 &{} 5 &{} 11 &{} 8 &{} 12 &{} 9 &{} 2 &{} 1 &{} 7 \\ 4 &{} 7 &{} 2 &{} 1 &{} 9 &{} 8 &{} 0 &{} 6 &{} 12 &{} 3 &{} 10 &{} 11 &{} 5 \\ 12 &{} 1 &{} 5 &{} 10 &{} 0 &{} 2 &{} 9 &{} 6 &{} 8 &{} 3 &{} 4 &{} 11 &{} 7 \\ 0 &{} 9 &{} 6 &{} 11 &{} 5 &{} 10 &{} 3 &{} 7 &{} 8 &{} 2 &{} 4 &{} 1 &{} 12 \end{array} \right) \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} {(15):} \left( \begin{array}{c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c} 0 &{} 11 &{} 12 &{} 4 &{} 5 &{} 13 &{} 10 &{} 3 &{} 6 &{} 1 &{} 7 &{} 2 &{} 9 &{} 8 &{} 14 \\ 14 &{} 1 &{} 12 &{} 11 &{} 2 &{} 7 &{} 4 &{} 10 &{} 8 &{} 0 &{} 3 &{} 6 &{} 5 &{} 13 &{} 9 \\ 10 &{} 7 &{} 2 &{} 3 &{} 5 &{} 6 &{} 14 &{} 0 &{} 13 &{} 1 &{} 8 &{} 4 &{} 12 &{} 9 &{} 11 \\ 1 &{} 4 &{} 13 &{} 3 &{} 2 &{} 9 &{} 14 &{} 10 &{} 8 &{} 12 &{} 6 &{} 11 &{} 0 &{} 7 &{} 5 \\ 2 &{} 13 &{} 0 &{} 14 &{} 4 &{} 6 &{} 3 &{} 5 &{} 7 &{} 8 &{} 10 &{} 1 &{} 9 &{} 11 &{} 12 \\ 14 &{} 4 &{} 3 &{} 2 &{} 11 &{} 5 &{} 10 &{} 8 &{} 1 &{} 9 &{} 6 &{} 12 &{} 7 &{} 13 &{} 0 \\ 7 &{} 13 &{} 5 &{} 3 &{} 12 &{} 14 &{} 6 &{} 10 &{} 8 &{} 0 &{} 1 &{} 4 &{} 11 &{} 9 &{} 2 \\ 10 &{} 8 &{} 9 &{} 0 &{} 12 &{} 3 &{} 5 &{} 7 &{} 2 &{} 1 &{} 6 &{} 14 &{} 4 &{} 13 &{} 11 \\ 13 &{} 9 &{} 10 &{} 2 &{} 3 &{} 5 &{} 6 &{} 7 &{} 8 &{} 12 &{} 14 &{} 11 &{} 4 &{} 0 &{} 1 \\ 12 &{} 3 &{} 10 &{} 13 &{} 7 &{} 5 &{} 1 &{} 2 &{} 8 &{} 9 &{} 14 &{} 4 &{} 11 &{} 0 &{} 6 \\ 0 &{} 9 &{} 13 &{} 14 &{} 4 &{} 5 &{} 11 &{} 12 &{} 1 &{} 8 &{} 10 &{} 6 &{} 3 &{} 7 &{} 2 \\ 10 &{} 7 &{} 6 &{} 3 &{} 8 &{} 14 &{} 5 &{} 9 &{} 13 &{} 12 &{} 1 &{} 11 &{} 4 &{} 0 &{} 2 \\ 7 &{} 3 &{} 2 &{} 6 &{} 11 &{} 5 &{} 0 &{} 8 &{} 9 &{} 10 &{} 4 &{} 14 &{} 12 &{} 1 &{} 13 \\ 5 &{} 1 &{} 6 &{} 14 &{} 8 &{} 0 &{} 10 &{} 9 &{} 4 &{} 12 &{} 11 &{} 2 &{} 7 &{} 13 &{} 3 \\ 0 &{} 12 &{} 2 &{} 13 &{} 11 &{} 8 &{} 6 &{} 5 &{} 9 &{} 10 &{} 4 &{} 3 &{} 7 &{} 1 &{} 14 \end{array} \right) \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} {(19):} \left( \begin{array}{c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c} 0&{} 17&{} 2&{} 3&{} 4&{} 5&{} 6&{} 7&{} 8&{} 1&{} 10&{} 11&{} 12&{} 13&{} 14&{} 15&{} 16&{} 9&{} 18 \\ 9&{} 1&{} 16&{} 15&{} 14&{} 13&{} 12&{} 11&{} 10&{} 18&{} 8&{} 7&{} 6&{} 5&{} 4&{} 3&{} 2&{} 17&{} 0 \\ 0&{} 17&{} 2&{} 4&{} 5&{} 6&{} 3&{} 8&{} 9&{} 10&{} 7&{} 12&{} 13&{} 14&{} 15&{} 11&{} 16&{} 1&{} 18 \\ 18&{} 1&{} 16&{} 3&{} 13&{} 12&{} 11&{} 10&{} 9&{} 8&{} 7&{} 6&{} 5&{} 4&{} 2&{} 15&{} 14&{} 17&{} 0 \\ 0&{} 17&{} 16&{} 15&{} 4&{} 11&{} 10&{} 9&{} 8&{} 7&{} 6&{} 5&{} 3&{} 2&{} 14&{} 12&{} 13&{} 1&{} 18 \\ 18&{} 1&{} 16&{} 14&{} 10&{} 5&{} 12&{} 2&{} 3&{} 4&{} 7&{} 6&{} 8&{} 13&{} 9&{} 11&{} 15&{} 17&{} 0 \\ 0&{} 17&{} 16&{} 15&{} 13&{} 8&{} 6&{} 7&{} 2&{} 9&{} 4&{} 5&{} 12&{} 3&{} 10&{} 11&{} 14&{} 1&{} 18 \\ 18&{} 1&{} 16&{} 14&{} 8&{} 5&{} 12&{} 7&{} 3&{} 10&{} 2&{} 11&{} 6&{} 4&{} 9&{} 13&{} 15&{} 17&{} 0 \\ 18&{} 1&{} 14&{} 15&{} 11&{} 2&{} 4&{} 6&{} 8&{} 5&{} 10&{} 7&{} 13&{} 3&{} 9&{} 12&{} 16&{} 17&{} 0 \\ 18&{} 17&{} 16&{} 14&{} 13&{} 3&{} 11&{} 12&{} 10&{} 9&{} 8&{} 6&{} 7&{} 15&{} 5&{} 4&{} 2&{} 1&{} 0 \\ 0&{} 17&{} 2&{} 6&{} 9&{} 15&{} 5&{} 11&{} 8&{} 13&{} 10&{} 12&{} 14&{} 16&{} 7&{} 3&{} 4&{} 1&{} 18 \\ 18&{} 1&{} 3&{} 5&{} 9&{} 14&{} 12&{} 7&{} 16&{} 8&{} 15&{} 11&{} 6&{} 13&{} 10&{} 4&{} 2&{} 17&{} 0 \\ 0&{} 17&{} 4&{} 7&{} 8&{} 15&{} 6&{} 13&{} 14&{} 9&{} 16&{} 11&{} 12&{} 10&{} 5&{} 3&{} 2&{} 1&{} 18 \\ 18&{} 1&{} 3&{} 7&{} 9&{} 5&{} 10&{} 12&{} 11&{} 14&{} 15&{} 16&{} 6&{} 13&{} 8&{} 4&{} 2&{} 17&{} 0 \\ 0&{} 17&{} 5&{} 6&{} 4&{} 16&{} 15&{} 13&{} 12&{} 11&{} 10&{} 9&{} 8&{} 7&{} 14&{} 3&{} 2&{} 1&{} 18 \\ 18&{} 1&{} 4&{} 3&{} 16&{} 14&{} 13&{} 12&{} 11&{} 10&{} 9&{} 8&{} 7&{} 6&{} 5&{} 15&{} 2&{} 17&{} 0 \\ 0&{} 17&{} 2&{} 7&{} 3&{} 4&{} 5&{} 6&{} 11&{} 8&{} 9&{} 10&{} 15&{} 12&{} 13&{} 14&{} 16&{} 1&{} 18 \\ 18&{} 1&{} 16&{} 15&{} 14&{} 13&{} 12&{} 11&{} 10&{} 0&{} 8&{} 7&{} 6&{} 5&{} 4&{} 3&{} 2&{} 17&{} 9 \\ 0&{} 9&{} 2&{} 3&{} 4&{} 5&{} 6&{} 7&{} 8&{} 17&{} 10&{} 11&{} 12&{} 13&{} 14&{} 15&{} 16&{} 1&{} 18 \end{array} \right) \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} {(23):} \left( \begin{array}{c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c} 0&{} 11&{} 13&{} 8&{} 9&{} 14&{} 10&{} 12&{} 19&{} 3&{} 4&{} 21&{} 6&{} 15&{} 18&{} 20&{} 17&{} 2&{} 7&{} 5&{} 16&{} 1&{} 22 \\ 22&{} 1&{} 15&{} 13&{} 16&{} 9&{} 4&{} 10&{} 2&{} 20&{} 5&{} 0&{} 7&{} 6&{} 17&{} 12&{} 19&{} 14&{} 3&{} 8&{} 18&{} 21&{} 11 \\ 17&{} 13&{} 2&{} 11&{} 15&{} 10&{} 9&{} 14&{} 0&{} 22&{} 6&{} 19&{} 5&{} 4&{} 16&{} 1&{} 18&{} 12&{} 21&{} 3&{} 20&{} 8&{} 7 \\ 16&{} 4&{} 20&{} 3&{} 0&{} 6&{} 17&{} 9&{} 1&{} 21&{} 7&{} 2&{} 18&{} 5&{} 15&{} 14&{} 22&{} 10&{} 12&{} 19&{} 11&{} 13&{} 8 \\ 19&{} 10&{} 9&{} 14&{} 4&{} 11&{} 13&{} 8&{} 15&{} 7&{} 2&{} 17&{} 1&{} 0&{} 20&{} 3&{} 21&{} 5&{} 18&{} 6&{} 22&{} 12&{} 16 \\ 15&{} 2&{} 21&{} 9&{} 18&{} 5&{} 0&{} 13&{} 6&{} 16&{} 3&{} 4&{} 22&{} 1&{} 19&{} 8&{} 20&{} 17&{} 11&{} 14&{} 7&{} 10&{} 12 \\ 20&{} 9&{} 0&{} 10&{} 19&{} 13&{} 6&{} 11&{} 4&{} 18&{} 1&{} 15&{} 3&{} 2&{} 21&{} 7&{} 16&{} 8&{} 22&{} 12&{} 17&{} 14&{} 5 \\ 18&{} 19&{} 4&{} 1&{} 21&{} 2&{} 16&{} 7&{} 5&{} 17&{} 22&{} 6&{} 20&{} 3&{} 0&{} 15&{} 11&{} 13&{} 8&{} 10&{} 12&{} 9&{} 14 \\ 7&{} 16&{} 18&{} 17&{} 22&{} 21&{} 20&{} 19&{} 8&{} 9&{} 10&{} 12&{} 11&{} 13&{} 14&{} 2&{} 3&{} 0&{} 1&{} 4&{} 5&{} 15&{} 6 \\ 4&{} 5&{} 6&{} 7&{} 2&{} 3&{} 1&{} 22&{} 14&{} 9&{} 12&{} 11&{} 10&{} 13&{} 8&{} 21&{} 0&{} 20&{} 19&{} 16&{} 15&{} 18&{} 17 \\ 6&{} 7&{} 5&{} 18&{} 1&{} 22&{} 3&{} 20&{} 11&{} 13&{} 10&{} 14&{} 12&{} 8&{} 9&{} 19&{} 2&{} 21&{} 0&{} 17&{} 4&{} 16&{} 15 \\ 22&{} 21&{} 20&{} 19&{} 18&{} 17&{} 16&{} 15&{} 9&{} 14&{} 12&{} 11&{} 10&{} 8&{} 13&{} 7&{} 6&{} 5&{} 4&{} 3&{} 2&{} 1&{} 0 \\ 2&{} 3&{} 1&{} 22&{} 6&{} 7&{} 5&{} 18&{} 13&{} 14&{} 10&{} 8&{} 12&{} 9&{} 11&{} 17&{} 4&{} 16&{} 15&{} 21&{} 0&{} 20&{} 19 \\ 5&{} 18&{} 7&{} 16&{} 3&{} 20&{} 22&{} 21&{} 14&{} 9&{} 12&{} 11&{} 10&{} 13&{} 8&{} 0&{} 1&{} 19&{} 2&{} 15&{} 6&{} 17&{} 4 \\ 3&{} 20&{} 22&{} 21&{} 7&{} 16&{} 18&{} 17&{} 8&{} 9&{} 11&{} 10&{} 12&{} 13&{} 14&{} 4&{} 5&{} 15&{} 6&{} 0&{} 1&{} 19&{} 2 \\ 14&{} 17&{} 12&{} 5&{} 8&{} 0&{} 11&{} 7&{} 18&{} 4&{} 21&{} 16&{} 19&{} 20&{} 1&{} 15&{} 6&{} 3&{} 13&{} 22&{} 10&{} 2&{} 9 \\ 9&{} 14&{} 10&{} 12&{} 13&{} 8&{} 6&{} 15&{} 17&{} 5&{} 0&{} 7&{} 2&{} 19&{} 22&{} 11&{} 16&{} 1&{} 20&{} 18&{} 21&{} 4&{} 3 \\ 12&{} 6&{} 16&{} 0&{} 11&{} 5&{} 19&{} 1&{} 7&{} 15&{} 20&{} 18&{} 21&{} 22&{} 2&{} 13&{} 8&{} 17&{} 4&{} 9&{} 14&{} 3&{} 10 \\ 10&{} 12&{} 14&{} 15&{} 4&{} 17&{} 8&{} 2&{} 16&{} 6&{} 19&{} 5&{} 0&{} 21&{} 3&{} 22&{} 13&{} 11&{} 18&{} 1&{} 9&{} 7&{} 20 \\ 8&{} 15&{} 11&{} 3&{} 12&{} 1&{} 21&{} 4&{} 22&{} 0&{} 16&{} 20&{} 17&{} 18&{} 6&{} 9&{} 14&{} 7&{} 10&{} 19&{} 2&{} 5&{} 13 \\ 13&{} 8&{} 2&{} 19&{} 10&{} 12&{} 14&{} 0&{} 21&{} 1&{} 15&{} 3&{} 4&{} 17&{} 7&{} 5&{} 9&{} 22&{} 16&{} 11&{} 20&{} 6&{} 18 \\ 11&{} 1&{} 17&{} 6&{} 20&{} 15&{} 2&{} 5&{} 3&{} 19&{} 18&{} 22&{} 16&{} 7&{} 4&{} 10&{} 12&{} 9&{} 14&{} 13&{} 8&{} 21&{} 0 \\ 0&{} 21&{} 8&{} 4&{} 14&{} 19&{} 12&{} 3&{} 20&{} 2&{} 17&{} 1&{} 15&{} 16&{} 5&{} 18&{} 10&{} 6&{} 9&{} 7&{} 13&{} 11&{} 22 \end{array} \right) \end{aligned}$$

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Zhang, H. An Experiment with Satisfiability Modulo SAT. J Autom Reasoning 56, 143–154 (2016). https://doi.org/10.1007/s10817-015-9354-0

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