Elsevier

Discrete Mathematics

Volume 149, Issues 1–3, 22 February 1996, Pages 205-221
Discrete Mathematics

Estimation asymptotique de la distance minimale du dual des codes BCH et polynômes de Dickson

https://doi.org/10.1016/0012-365X(94)00320-IGet rights and content
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Abstract

We discuss the Carlitz-Uchiyama bound for the duals of BCH codes. An improvement of this bound was expected by MacWilliams and Sloane in their book The Theory of Error-Correcting Codes. We show that there exists a conjecturally infinite series of values such that for the designed distance of a BCH code belonging to that series this improvement is not true. On the contrary, we show that the Carlitz-Uchiyama bound is reached asymptotically. We deduce these results from corresponding results for exponential sums associated to monomials or to Dickson polynomials. We study also the extension of these results to the case of fields of characteristic different from 2.

Résumé

On discute de la borne de Carlitz-Uchiyama pour le dual d'un code BCH. MacWilliams et Sloane avaient suggéré dans leur livre The Theory of Error-Correcting Codes une amélioration de cette borne. On montre, pour la distance prescrite du code BCH appartenant à une certaine série, série qui est conjecturalement infinie, que cette amélioration n'est pas vérifiée et qu'au contraire la borne de Carlitz-Uchiyama est asymptotiquement atteinte. On déduit ces résultats de résultats correspondants pour les sommes exponentielles associées à des monômes ou à des polynômes de Dickson. On étudie aussi l'extension de ces résultats au cas des corps de caractéristique supérieure à 2.

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