Statistical analysis of scale-space

Abstract

The noise and clutter cause major problems in scale-space because it involves taking higher derivatives. Statistical analysis of the noise as it is reflected in the scale-space representation and its effect on any algorithm based on this representation poses an interesting topic of research. Scale-space representation involves convolving the input with a smoothing filter (typically Gaussian) of different resolutions and detecting the primitives (typically the zero crossings of the second derivative) to form the scale-space representation. Statistical analysis of the scale-space is nontrivial because of two reasons: (i) it involves a nonlinear operation namely the detection of zero crossings and (ii) the noise at different scales is correlated. In this paper we prove theorems which give the probabilities of zero-crossings in the output in the presence of noise. The theorems are then applied to the case of Gaussian smoothing. These probabilities can be used for a number of applications such as performance analysis.

Zusammenfassung

Rauschen und Clutter-Störungen bewirken groβe Probleme bei Scale-Space-Darstellungen, da Ableitungen höherer Ordnung erforderlich sind. Eine statistische Analyse des Rauschens, das sich in der Scale-Space Darstellung äuβert und sein Einfluβ auf jeden algorithmus, der auf dieser Darstellung basier, ist ein interessantes Forschungsgebiet. Die Scale-Space-Darstellung beinhaltet die Verarbeitung des Eingangssignals mit einem Glättungsfilter (typischerweise Gauβ) bei verschiedenen Auflösungen und die Detektion der Nulldurchgänge der zweiten Ableitung, um die Scale-Space-Darstellung zu bilden. Die statistische Analyse des Scale-Space ist aus zwei Gründe nichttrivial : (i) sie beinhaltet eine nichtlineare Operation, nämlich die Detektion von Nullstellen und (ii) das Rauschen bei verschiedenen Skalierungen ist korreliert. In dieser Arbeit werden Theoreme bewiesen, die eine Aussage über die Wahrscheinlichkeiten von Nulldurchgängen am Ausgang unter Rauschen ermöglichen. Die Theoreme werden dann auf den Fall eines gauβschen Glättungsfilters angewendet. Diese Wahrscheinlichkeiten können für eine Vielzahl von Anwendungen benutzt werden, so. z.B. für die Analyse der Leistungsfähigkeit.

Résumé

Le bruit et le fouillis sont les causes de problèmes majeurs en espace d'échelle du fait que cette technique implique l'emploi de dérivées d'ordre supérieur. L'analyse statistique du bruit tel que reflété dans la représentation en espace d'échelle et son effet sur tout algorithme basé sur cette représentation constituent un intéressant sujet de recherche. La représentation en espace d'échelle implique la convolution de l'entrée avec un filtre adoucisseur (typiquement gaussien) de différentes résolutions et la détection de primitives (typiquement les passages par zéro de la dérivée seconde). L'analyse statistique de l'espace d'échelle n'est pas triviale pour deux raisons: (i) elle implique une opération non-linéaire, à savoir la détection des passages par zéro et (ii) le bruit à différentes échelles est corrélé. Nous prouvons dans cet article des théorèmes donnant les probabilités de passage par zéro en présence de bruit. Ces théorèmes sont ensuite appliqués au cas de l'adoucissement gaussien. Ces probabilités peuvent être utilisées pour un certain nombre d'applications telles que l'analyse de performances.