A two-dimensional nonuniform sampling expansion model

Abstract

Assuming a previously established model for one-dimensional (1-D) signal interpolation, this paper presents the extension of the above results for finite two-dimensional (2-D) signals. The proposed method consists of a cascade having three stages: (i) 2-D nonuniform sampling according to Chebyshev polynomial roots; (ii) 2-D Discrete Cosine Transform (DCT) applied on the matrix of nonuniformly spaced samples; (iii) 2-D interpolation using the matrix of DCT coefficients deduced at stage (ii). We have proved that the set of Chebyshev nonuniformly taken 2-D signal samples and the coefficients of the corresponding 2-D Chebyshev polynomial finite series are essentially a 2-D DCT pair. It provides a method to a fast computation of the coefficients of an optimum 2-D interpolation formula. By assuming the 2-D signal is band-limited and has finite energy, we have deduced an upper bound for the magnitude of the sampling reconstruction error and the corresponding sufficient conditions of convergence for interpolation. We have also evaluated the application of our model for data compression, pointing out the advantage of the proposed interpolative coding (based on 2-D nonuniform sampling and 2-D DCT) over the corresponding classical method (based on 2-D uniform sampling and 2-D DCT). Some numerical examples are given.

Zusammenfassung

In diesem Beitrag werden die Ergebnisse eines vorher abgleiteten models zur Interpolation eindiminsionaler (1-D) Signale auf zweidimensionale (2-D) Signale endlicher Dauer erweitert. Das vorgeschlagene Verfahren besteht aus drei Stufen: (i) 2-D ungleichmässige Abtastung, im Verhältnis mit den Wurzeln der Tschebyschew Polinome; (ii) 2-D Discrete Cosine Transformation (DCT) angewandt zur Matrix der nichtgleichmässig entfernten diskreten Ordinaten; (iii) 2-D Interpolation mit Hilfe der in der Stufe (ii) abgeleiteten DCT-koeffizienten. Wir haben gezeigt dass der Satz der nichtgleichmässig abgetasteten Ordinaten des 2-D Signals und die Koeffizienten der entsprechenden 2-D Tchebyschew Polinome begrenzte Serie 2-D DCT-Paare bilden. Das führt zu einem Verfahren zur schnellen Berechnung der Koeffizienten einer optimalen 2-D Interpolationsformel. Annehmend dass das 2-D Signal bandbegrenzt und von endlicher Energie ist haben wir eine Obergrenze für den Rekonstruktionsfehler und die entsprechenden hinreichenden Bedingungen zur Konvergenz festgestellt. Wir haben auch die Anwendungsmöglichkeiten unseres Models zur Datenkompression abgeschätzt und die Vorteile der vorgeschlagenen Interpolations Codierung (die auf 2-D ungleichmässige Abtastung und 2-D DCT beruht) in Verhältnis zu den Klassischen Verfahren (die auf das 2-D gleichmässige Abtastung und 2-D DCT beruhen) ins Licht gebracht. Es werden auch numerische Beispiele gegeben.

Résumé

En utilisant un modèle déjà établi pour l'interpolation des signaux unidimensionnels (1-D), cet article présente l'extension des résultats précédents pour des signaux bidimensionnels (2-D) de durée finie. La méthode proposée réside en trois étapes: (i) l'échantillonnage non-uniforme basé sur les racines du polynôme de Tchébycheff; (ii) la transformation bidimensionnelle discrète en cosinus (2D-DCT) appliquée sur la matrice des échantillons non-uniformément placés; (iii) l'interpolation bidimensionnelle en utilisant la matrice des coefficients DCT déduite dans l'étape (ii). Nous avons prouvé que l'ensemble des échantillons non-uniformément prélevés du signal bidimensionnel et l'ensemble des coefficients de la série limitée bidimensionnelle correspondante de Tchébycheff sont réellement une paire 2D-DCT. Ce résultat fournit une méthode pour le calcul rapide des coefficients d'une formule optimale d'interpolation. En supposant que le signal bidimensionnel a une bande de supérieure de l'erreur absolut de reconstruction et les conditions correspondantes suffisantes pour la convergence de l'interpolation. Nous avons aussi évalué l'application de notre modèle pour la compression des données, mettant évidence l'avantage du codage par interpolation proposé (basé sur un échantillonnage non-uniforme 2-D et une 2-D DCT) par rapport à la méthode classique correspondante (basée sur un échantillonnage uniforme 2-D et une 2-D DCT). Plusieurs exemples numériques sont donnés.