A novel combination of NTTs using the MRC

Abstract

In this paper it is shown how the Fermat number transforms can be combined, using the mixed radix conversion, with a recently developed transform based upon the Mersenne numbers. The resulting combination uses fast small residue transforms which can be implemented in parallel for high speed and high throughput rate. The novel feature of the method is that it allows the combination of the Fermat and Mersenne number based transforms with their moduli selected to be conveniently close to one another, thus making more efficient use of the hardware/software than has previously been possible. The technique is suitable for the calculation of convolutions and correlations and leads to increased dynamic range and to the convenient use of parallel operation. Also this approach has the advantage that all arithmetic operations are carried out modulo the Mersenne and Fermat numbers, which are known to yield simple arithmetic.

Zusammenfassung

In dieser Arbeit wird gezeigt, wie die Transformation auf Basis der Fermat'schen Zahlen bei Verwendung der gemischten Radix-Umwandlung mil einer vor kurzem entwickelten Transformation auf Basis der Mersenne'schen Zahlen kombiniert werden kann. Die resultierende Kombination verwendet schnelle Kleine-Residuen-Transformationen, die parallel implementiert werden können, um hohe Geschwindigkeit und hohe Durchsatzrate zu erreichen. Das neuartige Merkmal der Methode besteht darin, daβ sie die Kombination der Transformationen auf Basis der Fermat'schen und Mersenne'schen Zahlen erlaubt, wobei ihre Module auf günstige Weise nahe beinander gewählt werden können, so daβ ein effizienterer Einsatz der Hardware/Software als bisher ermöglicht wird. Das Verfahren ist zur Berechnung von Faltungen und Korrelationen geeignet und führt auf einen erhöhten Dynamikbereich und auf einen günstigen Einsatz der Parallelverarbeitung. Dieser Ansatz hat auch den Vorteil, daβ alle arithmetischen Operationen modulo den Mersenne'schen und Fermat'schen Zahlen ausgeführt werden, von denen bekannt ist, daβ sie auf eine einfache Arithmetik führen.

Résumé

Dans cet article, on montre comment les transformées de nombre de Fermat peuvent être combinées, en utilisant la conversion de racines mixtes, avec une transformée récemment développée, basée sur les nombres de Mersenne. La combinaison résultante utilise des transformées rapides à faible résidu qui peuvent être programmées en parallèle pour plus de rapidité et pour un taux élevé de débit de transfert. La nouvelle caracteristique de la méthode est qu'elle permet de combiner les transformées basées sur les nombres de Fermat et de Mersenne avec lews modules choisis judicieusement proches l'un l'autre, permettant ainsi une utilisation plus efficace des programmes et équipements informatiques que ce qui avail été possible auparavant. La technique est appropriée aux calculs de convolutions et corrélations et conduit à une gamme dynamique accrue et à l'utilisation appropriée d'opérations parallèles. De plus, cette approche a l'avantage que toutes les opérations sont effectuées modulo les nombres de Mersenne et de Fermat, qui sont reconnus pour produire une arithmétique simple.