Extensions de réseaux de connexité donnée

https://doi.org/10.1016/0166-218X(92)90285-IGet rights and content
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Résumé

On appellera G(i) un graphe d'ordre i. Partant d'un graphe G(i), on veut obtenir, en ajoutant p par p des sommets, une famille infinie des graphes G(n), qui conservent certaines propriés de G(i) (on parlera d'extension). On s'intéresse, ici, aux propriétés de k-connexités (réseaux qui supportent k-1 pannes) et de degré maximum Δ (le nombre de liaisons est limité à Δ).

On considère d'abord le cas p = 1. On montre que pour certaines valeurs de Δ et k, il est impossible de trouver une extension conservant k et Δ sans admettre des modifications dans le graphe déjà existant. G(j) n'est pas forcément un sous-graphe de G(j + 1). Pour ces valeurs, on recherchera une borne théorique du nombre moyen minimum de remaillages par étape, notér0(Δ, k), où un remaillage est la suppression d'une liaison déjà existante.

On prouve ensuite que cette borne est la meilleure possible. Plus exactment on montre le théorème suivant: quels que soient Δ et k, il existe un graphe initial et une extension infinie de graphes k-connexes et de degré maximum Δ obtenue avec un nombre moyen de remaillages égal à r0(Δ, k).

La fin de ce travail sera consacrée à la généralisation à p quelconque. On montrera notamment que quels que soit k⩽Δ, il existe p tel qu'il existe une extension infinie d'un graphe initial par pas de p sans remaillage.

Abstract

Let us call G(i) a graph of order i. We want to construct an infinite family of graphs (G(n)) starting with a graph G(i) and adding new vertices p by p in such a way that all the graphs still verify some of the properties of G(i). Here we consider k-connected graphs (networks who stand k-1 node failures) with maximum degree Δ (the number of links at each vertex is bounded by Δ).

First we consider the case p = 1. We show that, for some value of k and Δ, such an extension doesn't exists without allowing some modifications of the network. G(j) is not necessarily a subgraph of G(j+1). For these values we give a theorical bound for the average number of necessary relinkages at each step, denoted r0(Δ, k). A relinkage is a suppression of an existent edge. We show that this bound is the best possible. More exactly we prove the following theorem: let k and Δ be integers, k⩽Δ, there exist an initial graph and an infinite extension of k-connected graphs with maximum degree Δ with an average number of relinkages equal to r0(Δ, k) at each step.

Eventually we generalize this result to the extension with any p. In particular we show that for all k⩽Δ, there exist p0(Δ, k) and an infinite extension with p0 new vertices at each step without relinkage.

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