The median procedure in the semilattice of orders

Abstract

Let X be a finite set; we are concerned with the problem of finding a consensus order P that summarizes an m-tuple (profile) $\text{P}{}^{\mathrm{\ast }}$ of (partial) orders on X. A classical approach is to consider a distance function d on the set O of all the orders of X and to search to minimize the remoteness $\text{∑}{}_{\mathrm{1⩽i⩽m}}\text{d(P,P}{}_{\mathrm{i}}\text{)}$. We study some properties of this median procedure, and compare it with some other consensus approaches. Besides the classical symmetric difference metric, other distances are considered, and we particularly address the consequences for the consensus problem of the existence of a semilattice structure on the set O.

Résumé

On considère un ensemble X fini, et le problème de trouver un ordre consensus P résumant un m-uplet (profil) $\text{P}{}^{\mathrm{\ast }}$ d'ordres (partiels) sur X. Une approche classique est de munir l'ensemble O de tous les ordres sur X d'une métrique d, puis de chercher à minimiser l’éloignement $\text{∑}{}_{\mathrm{1⩽i⩽m}}\text{d(P,P}{}_{\mathrm{i}}\text{)}$. Nous étudions certaines propriétés de cette procédure médiane, et nous la confrontons à d'autres approches du problème. Plusieurs métriques sont envisagées, à côté de la classique distance de la différence symétrique, et nous abordons particulièrement les apports au problème du consensus de la prise en considération de la structure de demi-treillis de l'ensemble O.