Flachheitsbasierte algebraische Fehlerdiagnose für einen Euler-Bernoulli-Balken mittels Modulationsfunktionen

Ferdinand Fischer; Joachim Deutscher

doi:10.1515/auto-2019-0035

Published by De Gruyter (O) July 31, 2019

Flachheitsbasierte algebraische Fehlerdiagnose für einen Euler-Bernoulli-Balken mittels Modulationsfunktionen

Flatness-based algebraic fault diagnosis for an Euler-Bernoulli beam using modulating functions

Ferdinand Fischer
Ferdinand Fischer ist wissenschaftlicher Mitarbeiter am Lehrstuhl für Regelungstechnik der Universität Erlangen-Nürnberg in der Forschungsgruppe „Unendlich-dimensionale Systeme“ von Prof. Deutscher. Hauptarbeitsgebiet ist die Fehlerdiagnose für verteilt-parametrische Systeme mittels der Methode der Modulationsfunktionen.
and Joachim Deutscher
Joachim Deutscher ist außerplanmäßiger Professor am Lehrstuhl für Regelungstechnik der Universität Erlangen-Nürnberg und leitet dort die Forschungsgruppe „Unendlich-dimensionale Systeme“. Hauptarbeitsgebiete: Backstepping-Methoden und Fehlerdiagnose für verteilt-parametrische Systeme sowie Regelung nichtlinearer Systeme mit Anwendungen in der Robotik, Mechatronik und Fertigungstechnik.

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https://doi.org/10.1515/auto-2019-0035

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Zusammenfassung

Zur Fehlerdiagnose für verteilt-parametrische Systeme (SVP) wird eine neue Methode vorgestellt, die keine Systemapproximation erfordert. Die Anwendung von Integraltransformationen auf das SVP ermöglicht das Aufstellen einer Eingangs-Ausgangs-Beziehung, aus der sich ein algebraischer Ausdruck für den Fehler herleiten lässt. Um die Fehlerdiagnose unabhängig von den Störungen und unbekannten Zuständen zu machen, wird die Bestimmung der als Modulationsfunktion bezeichneten Integralkerne auf die Realisierung eines Arbeitspunktwechsels für ein SVP zurückgeführt. Aufgrund der Flachheit dieses SVP können die zugehörige Trajektorienplanung und der Steuerungsentwurf systematisch mit flachheitsbasierten Methoden erfolgen. Damit stellt der Beitrag erstmalig einen neuen Zusammenhang zwischen der Fehlerdiagnose für SVP und der Flachheitseigenschaft her. Die neue Diagnosemethode wird im Beitrag auf einen Euler-Bernoulli-Balken mit polynomialen sowie beschränkten Störungen zur Detektion von Aktorfehlern angewendet und in Simulationen validiert.

Abstract

A new method to the fault diagnosis for distributed parameter systems (DPS) is presented that does not require a system approximation. The application of integral transformations to the DPS allows the establishment of an input-output relationship from which an algebraic expression for the fault can be derived. In order to render the fault detection independent of the disturbances and the unknown states, the determination of the associated integral kernels, the so-called modulating functions, is traced back to the realization of a set-point change for a DPS. As this DPS is flat, the associated trajectory planning and the feedforward control design can be determined systematically with flatness-based methods. Thus, the contribution establishes for the first time a new connection between the fault diagnosis for DPS and the flatness property. The results of the contribution are applied to detect an actuator fault for an Euler-Bernoulli beam with polynomial and bounded disturbances. The effectiveness of the new fault diagnosis method is validated in simulations.

Schlagwörter: Verteilt-parametrische Systeme; Fehlerdiagnose; Methode der Modulationsfunktionen; Flachheit; Euler-Bernoulli-Balken

Keywords: distributed-parameter systems; fault diagnosis; modulating function; flatness; Euler-Bernoulli beam

Funding source: Deutsche Forschungsgemeinschaft

Award Identifier / Grant number: 391022641

Funding statement: Die Arbeit wurde von der Deutschen Forschungsgemeinschaft im Rahmen des Projekts DE-1368/5-1 (GEPRIS-Projektnr. 391022641) gefördert.

About the authors

M.Sc. Ferdinand Fischer

Ferdinand Fischer ist wissenschaftlicher Mitarbeiter am Lehrstuhl für Regelungstechnik der Universität Erlangen-Nürnberg in der Forschungsgruppe „Unendlich-dimensionale Systeme“ von Prof. Deutscher. Hauptarbeitsgebiet ist die Fehlerdiagnose für verteilt-parametrische Systeme mittels der Methode der Modulationsfunktionen.

Prof. Dr.-Ing. habil. Joachim Deutscher

Joachim Deutscher ist außerplanmäßiger Professor am Lehrstuhl für Regelungstechnik der Universität Erlangen-Nürnberg und leitet dort die Forschungsgruppe „Unendlich-dimensionale Systeme“. Hauptarbeitsgebiete: Backstepping-Methoden und Fehlerdiagnose für verteilt-parametrische Systeme sowie Regelung nichtlinearer Systeme mit Anwendungen in der Robotik, Mechatronik und Fertigungstechnik.

AnhangHerleitung der Bedingungen (62)

Im Folgenden werden die Bedingungen für detP≠0 hergeleitet. Hierzu wird gezeigt, dass P eine obere Dreiecksmatrix ist, für welche die Elemente auf der Hauptdiagonalen und somit detP geschlossen angegeben werden können. Aufgrund der Wahl (60) liegt Πδδ direkt als obere Dreiecksmatrix mit den Hauptdiagonaleinträgen

(99)Πδδ,ii=(−1)i−1(i−1)!⟨mδ,1,g1⟩Ω,I

für i=1,2,…,p vor. Zur Bestimmung von detP wird nun gezeigt, dass Q=ΠδfΠff−1Πfδ ebenfalls obere Dreiecksstruktur hat. Abhängig von den Polynomgraden r und p in (2) und (6) erhält man

(100a)Πδf=Π‾δf0(p−r)×r,Π‾δf∈Rr×r:p>rΠ‾δf∈Rp×p:p=rΠ‾δfΠ˜δf,Π‾δf∈Rp×pΠ˜δf∈Rp×(r−p):p<r

und

(100b)Πfδ=Π‾fδΠ˜fδ,Π‾fδ∈Rr×rΠ˜fδ∈Rr×(p−r):p>rΠ‾fδ∈Rr×r:p=rΠ‾fδ0(r−p)×p,Π‾fδ∈Rp×p:p<r

mit Π‾δf und Π‾fδ als obere Dreiecksmatrizen. Wie sich nach kurzer Rechnung zeigt, hat Πff−1 ebenfalls obere Dreiecksform mit den Hauptdiagonaleinträgen

(101)Πff,ii−1=1(−1)i−1(i−1)!⟨mf,1,b⟩Ω,I

für i=1,2,…,r. Im Fall r=p sind Πδf und Πfδ quadratisch mit den Hauptdiagonaleinträgen

(102a)Πfδ,ii=(−1)i−1(i−1)!⟨mf,1,g1⟩Ω,I

(102b)Πδf,ii=(−1)i−1(i−1)!⟨mδ,1,b⟩Ω,I

für i=1,2,…,r. Demnach weist auch Q obere Dreiecksform auf und mit (101) folgt

(103)Qii=(−1)i−1(i−1)!⟨mδ,1,b⟩Ω,I⟨mf,1,g1⟩Ω,I⟨mf,1,b⟩Ω,I.

Zusammen mit (99) gilt

(104)detP=ξr∏i=1r(−1)i−1(i−1)!,

worin

(105)ξ=⟨mδ,1,g1⟩Ω,I−⟨mδ,1,b⟩Ω,I⟨mf,1,g1⟩Ω,I⟨mf,1,b⟩Ω,I

ist. Für p>r erhält man

(106)Q=Q‾Π‾δfΠff−1Π˜δf0(p−r)×r0(p−r)×(p−r)

mit Q‾=Π‾δfΠff−1Π‾fδ. Hierbei ist Q‾ entsprechend dem Fall p=r eine obere Dreiecksmatrix mit den Hauptdiagonaleinträge

(107)Q‾ii=(−1)i−1(i−1)!⟨mδ,1,b⟩Ω,I⟨mf,1,g1⟩Ω,I⟨mf,1,b⟩Ω,I

für i=1,2,…,r. Somit folgt für

(108)Pii=Πδδ,ii−Q‾ii:i=1,2,…,rΠδδ,ii:i=r+1,r+2,…,p

und zusammen mit (99)

(109)detP=⟨mδ,1,g1⟩Ω,Ip−rξr∏i=1p(−1)i−1(i−1)!.

Für p<r muss Πff−1 in die Blockmatrix

(110)Πff−1=Π‾ff−1⋆0(r−p)×p⋆

mit Π‾ff−1∈Rp×p aufgeteilt werden, wobei ⋆ nicht interessierende Blockmatrixelemente bezeichnet. Mit (110) folgt nach kurzer Rechnung Q=Π‾δfΠ‾ff−1Π‾fδ als obere Dreiecksmatrix mit den Hauptdiagonaleinträgen entsprechend (103), aber mit i=1,2,…,p. Demnach ergibt sich

(111)detP=ξp∏i=1p(−1)i−1(i−1)!.

Somit ist detP≠0 für p≤r mit ξ≠0 erfüllt (siehe (105)), was (62a) entspricht. Für p>r ist die zusätzliche Bedingung (62b) zu berücksichtigen.

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Received: 2019-03-08

Accepted: 2019-06-07

Published Online: 2019-07-31

Published in Print: 2019-08-27

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