Lösung regelungstechnischer Problemstellungen mittels Quantorenelimination

2.1 Grundbegriffe der Aussagenlogik

In diesen Abschnitt werden grundlegende Definitionen eingeführt [28]. Unter einer atomaren Aussage versteht man einen Ausdruck der Form

mit einer Relation ⊳∈{=,<,>,≤,≥,≠} und einem Polynom f ( x 1 , … , x k ) ∈ Q [ x 1 , … , x k ] in den Variablen x 1 , … , x k mit rationalen Koeffizienten. Die boolesche Kombination atomarer Aussagen mit den Operatoren ∨,∧ und ¬ nennt man quantorenfreie Aussage. Damit sind natürlich auch alle weiteren booleschen Operatoren möglich, beispielsweise Implikation ( ⟹ ) und Äquivalenz ( ⟺ ). Eine pränexe Aussage hat die Form

mit den Quantoren Q i ∈ ∃ , ∀ und einer quantorenfreien Aussage F ( X , Y ). Die Variablen y 1 , … , y l , die in Verbindung mit Quantoren auftreten, nennt man quantifizierte Variablen, die anderen Variablen x 1 , … , x k heißen freie Variablen.

Eine algebraische Menge ist die Lösungsmenge einer oder mehrerer polynomialer Gleichungen. Erlaubt man zusätzlich polynomiale Ungleichungen, so erhält man eine semialgebraische Menge. Quantorenfreie Aussagen beschreiben somit semialgebraische Mengen. Die Besonderheit semialgebraischer Mengen besteht darin, dass Projektionen auf die nächstniedrigere Raumdimension wieder auf semialgebraische Mengen führen. Diesen Zusammenhang beschreibt das Tarski-Seidenberg-Theorem [11] und wird im nachfolgenden Beispiel verdeutlicht.

Beispiel 1.

Die Kreisgleichung

( x 1 − a ) 2 + ( x 2 − b ) 2 − r 2 = 0

beschreibt eine algebraische (und damit natürlich auch eine semialgebraische) Teilmenge von ( x 1 , x 2 ) ∈ R 2 . Die Projektionen auf die x 1 - bzw. x 2 -Achse führen auf Intervalle, die sich nicht mehr durch Gleichungen, sondern nur durch Ungleichungen

a − r ≤ x 1 ≤ a + r bzw. b − r ≤ x 2 ≤ b + r

und somit durch semialgebraische Mengen beschreiben lassen (vgl. Abb. 1).

Abb. 1

Projektionen einer algebraischen Menge in semialgebraische Mengen.

2.2 Quantorenelimination auf der Grundlage des Tarski-Seidenberg-Theorems

Eine Vielzahl von Fragestellungen aus Regelungstechnik und Systemtheorie lassen sich über pränexe Aussagen formulieren. Diese sind im Allgemeinen nicht konstruktiv und somit nicht geeignet, um die jeweilige Problemstellung zu lösen. Vielmehr werden Bedingungen an die jeweiligen Entwurfsparameter, beispielsweise Reglerverstärkungen, benötigt, die es ermöglichen, eine zielführende Parameterwahl zu treffen. Das entsprechende Lösungsgebiet lässt sich über quantorenfreie Aussagen beschreiben. Ziel ist es somit, die sich aus der jeweiligen Fragestellung ergebenden pränexen Aussagen in äquivalente quantorenfreie Aussagen zu überführen. Dies führt auf das Konzept der Quantorenelimination (kurz QE). Die Frage, ob für jede pränexe Aussage auch ein quantorenfreies Äquivalent existiert, adressiert das nachfolgende Theorem.

Über die in Theorem 1 formulierte Existenz eines quantorenfreien Äquivalents hinaus wurden in der Vergangenheit einige konstruktive Ansätze vorgestellt, um diese zu ermitteln. Der erste algorithmische Ansatz geht direkt auf Tarski zurück. Aufgrund seiner inhärenten Komplexität ist dieser allerdings praktisch nicht anwendbar.

Die Lösung erster praxisrelevanter Probleme war mit der zylindrischen algebraischen Zerlegung (engl. cylindrical algebraic decomposition, kurz CAD) möglich [15]. Grundidee der CAD ist es, die semialgebraische Menge entsprechend der Vorzeichen der beschreibenden Polynome in sogenannte Zellen zu zerlegen. Diese Zellen werden dann sukzessive von R n auf R n − k projiziert. Die sich aus dieser Projektion ergebenden Mengen sind entsprechend dem Tarski-Seidenberg-Theorem wieder semialgebraisch. Sind die Projektionen bis zum R 1 erfolgt, werden die ursprünglich im R n definierten Bedingungen im R 1 ausgewertet und anschließend die sich ergebenden Ergebnisse wieder sukzessive bis zum R n angehoben (engl. lifted). Der Rechenaufwand dieses Ansatzes kann im schlimmsten Fall doppelt exponentiell in der Anzahl der beteiligten Variablen anwachsen [17]. Dies ist zwar wesentlich besser als der von Tarski vorgestellte Algorithmus, dessen Rechenaufwand durch keine endliche Verknüpfung von Exponentialfunktionen beschränkt werden kann. Dennoch stellt die Komplexität von CAD eine nahezu unüberwindbare Schranke bei der Anwendbarkeit dar. Daher erfolgen praktische Berechnungen im Allgemeinen mit weiterentwickelten Verfahren [23], [66], [67], [31], [70]. Dabei sind insbesondere die virtuelle Substitution [66], [67] und die auf der Klassifikation reeller Nullstellen (engl. real root classification, kurz: RRC) der Polynome basierende Ansätze [23], [6], [31], [70] zu nennen.

Die Komplexität der einzelnen Verfahren gestaltet die Handhabung schwierig. Daher sind in den vorangegangenen drei Jahrzehnten einige Software-Werkzeuge für die Quantorenelimination entstanden. Beginnend mit QEPCAD (Quantifier Elimination by Partial Cylindrical Algebraic Decomposition) [16], welches das erste Werkzeug zur Handhabung moderat komplizierter Probleme war, entstand QEPCAD B [13]. Dieses ist in den Repositories der gängigen Linux-Distributionen enthalten. Diese beiden Werkzeuge (QEPCAD und QEPCAD B) verwenden CAD oder Abwandlungen von CAD. Das freie Programm Reduce mit dem Paket Redlog [19] nutzt darüber hinaus Quantorenelimination mit Algorithmen auf Basis der virtuellen Substitution. Auch die Computer-Algebra-Systeme Mathematica von Wolfram Research und Maple besitzen entsprechende Toolboxen. Für Maple existiert eine vergleichsweise effiziente CAD Implementierung mit der Bibliothek RegularChains [14] und das Softwarepaket SyNRAC [7], welches CAD, virtuelle Substitution und RRC-Algorithmen kombiniert.

3.1 Eigenwertzuweisung mittels Zustandsrückführung

Gegeben sei ein lineares zeitinvariantes Zustandsraummodell

mit A ∈ R n × n , B ∈ R n × m , C ∈ R p × n . Der Reglerentwurf beginnt typischerweise mit dem Entwurf einer statischen Zustandsrückführung

mit einer Reglerverstärkung F ∈ R m × n . Die Bedingungen zur freien Eigenwertplazierbarkeit bzw. zur Stabilisierbarkeit des geschlossenen Regelkreises

sind seit etwa einem halben Jahrhundert bekannt [33], [25], [26]. Zur Berechnung der Reglerverstärkung F stehen neben der klassischen Ackermann-Formel und ihren Verallgemeinerungen für mehrvariable Systeme auch zahlreiche weitere Verfahren und Softwareroutinen zur Verfügung [2], [3], [53], [42], [43].

In den meisten Anwendungsfällen ist für die Implementierung der Rückführung (2) nicht die vollständige Zustandsinformation verfügbar. In diesem Fällen schätzt man den Zustand mit Hilfe eines Beobachters und erhält dadurch in Kombination mit (2) eine dynamische Ausgangsrückführung.

3.2 Eigenwertzuweisung mittels statischer Ausgangsrückführung

Aus Sicht einer möglichst einfachen Implementierung des Reglers wäre eine statische Ausgangsrückführung

mit einer Matrix K ∈ R m × p wünschenswert. Der geschlossene Regelkreis

besitzt das charakteristische Polynom

dessen Koeffizienten a 0 , … , a n − 1 von den Einträgen der Matrix K = ( k i j ) abhängen. Im Rahmen des Reglerentwurfs soll die Matrix K so gewählt werden, dass sich für den geschlossenen Regelkreis ein vorgegebenes charakteristisches Polynom

ergibt.

Die Probleme der Eigenwertplazierbarkeit bzw. -plazierung gestalten sich bei einer statischen Ausgangsrückführung (3) wesentlich schwieriger als bei der Zustandsrückführung (2). Der Grund für diese Schwierigkeit liegt maßgeblich darin, dass die Koeffizienten der Reglerverstärkung K multilinear in die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms (5) eingehen. Bei der Eigenwertplazierung wird man dann auf ein multilineares Gleichungssystem geführt, von welchem ausschließlich reelle Lösungen gesucht sind. Verschiedene Teilergebnisse sind beispielsweise in [40], [65], [18] zu finden. Die Frage der Eigenwertplazierbarkeit mittels statischer Ausgangsrückführung wurde in [54] als ein noch offenes Problem aufgeführt und konnte erst vor wenigen Jahren befriedigend gelöst werden [20]. Für numerische Entwurfsverfahren sei auf [71], [21] verwiesen.

Die Übereinstimmung des charakteristischen Polynoms (5) mit dem Wunschpolynom (6) kann man über Koeffizientenvergleich prüfen. Damit lässt sich Problem 1 als Entscheidungsproblem mit Quantoren formulieren:

Sofern die Systemmatrizen ( A , B , C ) nicht von weiteren (z. B. technologischen) Parametern abhängen, führt dieses Entscheidungsproblem auf die boolesche Aussagen „wahr“ oder „falsch“. In der regelungstechnischen Praxis geht es meist nicht um eine (völlig) beliebige Eigenwertzuweisbarkeit, sondern um die Zuweisbarkeit einer konkreten Eigenwertkonstellation:

Für diese Fragestellung vereinfacht sich das Entscheidungsproblem (7) zu

Neben der reinen Existenzaussage erlaubt dieser Zugang auch die sukzessive Berechnung der Einträge k i j der Reglerverstärkung [49]:

1. Man entfernt den Quantor für eine Variable k i j . Dadurch wird diese Variable zu einer freien Variablen.

2. Die Elimination der verbleibenden Quantoren liefert eine Beschreibung der zulässigen Menge für die freie Variable.

3. Festlegung der Variablen k i j aus der zulässige Menge und Fortsetzung mit der nächsten Variablen (Schritt 1).

Beispiel 2.

Man betrachte die in Abb. 2 in Form von zwei Kreisschnitten dargestellte semialgebraische Menge im Parameterraum ( k 1 , k 2 ). Die Projektion auf die k 1 - bzw. k 2 -Achse führt in beiden Fällen auf jeweils ein Intervall. Mit der Festlegung eines Wertes k 1 ∗ aus der für k 1 zulässigen Menge schränkt man die für k 2 zulässige Menge auf zwei Teilintervalle ein.

Abb. 2

Sukzessive Festlegung der Parameter.

Im Allgemeinen wird die sukzessive Auslegung einer Rückführung nicht wie in Beispiel 3 auf eine rationale Lösung führen, wohl aber auf eine Beschreibung der entsprechenden Punkte oder Intervallgrenzen als Nullstellenmenge eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten. Die konkrete Berechnung der betreffenden Nullstellen wird allerdings in der Regel nur numerisch möglich sein.

3.3 Stabilisierung mittels statischer Ausgangsrückführung

Die Mindestanforderung an einen Regler ist die Stabilität des geschlossenen Regelkreises. Für Zustandsrückführungen lässt sich die Stabilisierungsaufgabe mittels linearer Matrixungleichungen (LMIs) lösen. Im Fall einer statischer Ausgangsrückführung ist die Berechnung einer stabilisierenden Rückführung wesentlich schwieriger (siehe [58], [71] sowie Anhang A). Nach Kenntnisstand der Autoren ist die Stabilisierung über statische Ausgangsrückführung die erste Anwendung der Quantorenelimination in der Regelungstechnik [8].

Auch dafür ist eine Formulierung als Entscheidungsproblem möglich

wobei die sich in äquivalenter Weise aus Routh- oder Hurwitz-Kriterium ergebenden Stabilitätsbedingungen

wiederum eine semialgebraische Menge beschreiben [24]. Mittels Quantorenelimination kann somit einerseits die Stabilisierbarkeit eines gegebenen Systems verifiziert werden, andererseits ist damit auch die schrittweise Berechnung der Reglerverstärkungen möglich [50].

In der regelungstechnischen Praxis bestehen neben der Platzierung in der linken Halbebene meist weitere Forderungen an die Lage der Eigenwerte. Für eine robuste Regelung ist eine Beschränkung der Eigenwerte beispielsweise auf bestimmte Streifen oder Segmente wünschenswert. Will man Schwingungen vermeiden, dann bietet sich die Eigenwertplazierung auf die linke reelle Halbachse an:

Auf der Basis von Sturm- oder Sturm-Habicht-Ketten lassen sich ähnlich wie in (10) Ungleichungsbeschränkungen herleiten [5], [39]. Für n ∈ { 2 , 3 } erhält man beispielsweise

Für n = 4 , 5 , … werden die Ungleichungen deutlich umfangreicher, können aber ohne Schwierigkeiten automatisiert erzeugt werden.

Die Formulierung der Entwurfsziele für eine Regelung durch Gleichungen bei der direkten Eigenwertplazierung bzw. durch Ungleichungen bei der Stabilisierung sind allgemein bekannt. Weniger üblich ist die Interpretation der zulässigen Parameter als semialgebraische Menge. Die dafür geltende Projektionseigenschaft wird hier zur schrittweisen Berechnung der einzelnen Reglerparameter genutzt. Dabei erhält man Ausdrücke in einvariablen Polynomen, deren reelle Nullstellen näherungsweise numerisch bestimmt werden. Die zum Entwurf statischer Ausgangsrückführungen vorgestellten Ansätze lassen sich auch für Parameterraummethoden bei festen Reglerstrukturen (z. B. PID-Regler) einsetzen [6], [46], [62].

4.1 Grundlagen der Lyapunov-Theorie

Bei nichtlinearen Systemen erfolgt die Stabilitätsanalyse in der Regel über die zweite oder direkte Methode von Lyapunov. Zur Beschreibung der Stabilitätsbedingungen ist es hilfreich, Vergleichsfunktionen einzuführen [56], [30]. Eine Funktion α : [ 0 , ∞ ) → [ 0 , ∞ ) mit α ( 0 ) = 0 gehört zur Klasse K ∞ , wenn sie streng monoton wachsend ist und α ( r ) → ∞ für r → ∞ gilt. Weiterhin wird eine stetig differenzierbare Funktion V : R n → R global positiv definit genannt, wenn

gilt. Eine global positiv definite Funktion ist somit auch radial unbeschränkt. Mit diesen Definitionen lässt sich eine Bedingung für die Stabilität des nichtlinearen Systems

angeben. Das System (13) habe das glatte Vektorfeld f : R n → R n und die Ruhelage f ( 0 ) = 0. Die (totale) Zeitableitung der Funktion V entlang der Systemdynamik (13) kann man als Lie-Ableitung in Richtung des Vektorfeldes f darstellen [4]:

Erfüllt eine global positiv definite Funktion V die Bedingung

so ist die Ruhelage x = 0 global asymptotisch stabil. Die Funktion V heißt dann Lyapunov-Funktion.^[1]

Bei einem (festen) Ansatz für die Lyapunov-Funktion ist die Stabilitätsbedingung (15) nur hinreichend, nicht aber notwendig. Die Schwierigkeit der direkten Methode von Lyapunov besteht maßgeblich darin, einen geeigneten Ansatz für eine Lyapunov-Funktion zu finden. Eine typische Wahl ist ein quadratischer Ansatz mit positiv definiter Matrix P, d. h.

Dieser Ansatz beschreibt nach dem Satz von Courant-Fischer (Minimum-Maximum-Prinzip) stets eine global positiv definite Funktion

Die Definitheitsbedingung von P = ( p i j ) kann mit dem Hauptminoren-Kriterium von Sylvester [41] in polynomiale Ungleichungsbedingungen überführt werden:

In Verallgemeinerung eines quadratischen Ansatzes (16) sind auch Funktionale mit geraden Potenzen üblich [29].

4.2 Stabilitätsanalyse nichtlinearer Systeme

Bei der Stabilitätsanalyse besteht neben dem Problem, eine geeignete Ansatzfunktion zu finden, auch die Schwierigkeit, die Definitheitsbedingung in (15) formal nachzuweisen. Dieser Nachweis beruht in der Regel auf geschickten Umformungen und Abschätzungen, die einen geübten Bearbeiter voraussetzen. Durch den Einsatz der Quantorenelimination lässt sich dieser Vorgang für polynomiale Systeme formalisieren. Anstelle einer festen Lyapunov-Funktion kann man dabei auch parametrisierte Lyapunov-Ansätze verwenden. Dieses Vorgehen wird nachfolgend an einem Beispiel illustriert.

Die prenäxen Formulierungen (19) und (20) sind als Stabilitätsbedingungen nur hinreichend, aber nicht notwendig. Auch wenn die Überführung der prenäxen Formulierungen (19) und (20) in quantorenfreie Aussagen nach Theorem 1 inhärent exakt ist, so können aus der Wahl der Ansatz-Funktionen dennoch konservative Ergebnisse resultieren.

Werden statt des autonomen Systems (13) eingangsabhängige Systeme

betrachtet, so sind die in Abschnitt 4.1 eingeführten Ansätze unzureichend, stattdessen wird das Konzept der Eingangs-Zustands-Stabilität (engl. input to state stability, kurz ISS) verwendet. Ein System (21) heißt eingangs-zustands-stabil, wenn eine global positiv definite Funktion V existiert, so dass

gilt. Die Zeitableitung V ˙ ist in Analogie zu Gl. (14) als Lie-Ableitung in Richtung des eingangsabhängigen Vektorfeldes F aus System (21) zu verstehen. Die Funktion V wird dann als ISS-Lyapunov-Funktion bezeichnet [57]. Die sich so ergebende pränexe Aussage kann ebenfalls mittels Quantorenelimination in ein quantorenfreies Äquivalent umgeformt werden [63]. Die konkrete Anwendung verdeutlicht das nachfolgende Minimalbeispiel.

Die gleiche Herangehensweise eignet sich auch für den Nachweis weiterer Stabilitätseigenschaften, wie (starker) integraler Eingangs-Zustands-Stabilität [9].

4.3 Invarianzanalyse

Neben der Stabiliserung einer einzelnen Ruhelage gibt es auch zahlreiche Probleme, wo die Lösung eines dynamischen Systems gegen eine bestimmte Teilmenge konvergieren und darin verweilen soll. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn das Entwurfsziel einer Regelung nicht die asymptotische sondern die praktische Stabilität ist.

Wir betrachten System (13). Sei φ t ( · ) der Fluss des Systems, d. h. die allgemeine Lösung. Eine Teilmenge G ⊆ R n des Zustandsraums heißt positiv invariant, wenn jede Lösung mit einem Anfangswert x 0 aus dieser Menge für alle nachfolgenden Zeiten in dieser Menge verweilt:

Die Bestimmung bzw. Approximation positiv invarianter Mengen kann sehr kompliziert ausfallen. Eine besonders günstige Situation liegt vor, wenn die betreffende Menge über die Niveaumengen einer Funktion vom Lyapunov-Typ beschrieben werden kann:

Die Teilmenge G ⊆ R n wird dabei durch die Niveaumenge V ( x ) = l begrenzt. Die Forderung, dass alle Lösungen, die in der durch V ( x ) > l beschriebenen Menge R n ∖ G starten, gegen die Menge G streben, lässt sich durch die pränexe Formel

beschreiben (siehe Abb. 3). Anstelle von (23) kann man beispielsweise auch die Bedingung

verwenden [38] , [59]. Die manuelle Auswertung der Bedingungen (23) bzw. (24) ist meist sehr aufwendig und kann mit der Quantorenelimination formalisiert werden. Dieses Vorgehen wurde in [51], [52] zur Attraktoreingrenzung bei verschiedenen nichtlinearen Systemen genutzt, beispielsweise beim Lorenz-Haken-System als Modell eines verstimmten Lasers.

Abb. 3

Positiv invariante Menge, die über Niveaumengen der Lyapunov-Funktion V beschrieben wird.

5.1 Nichtunterscheidbarkeit und Beobachtbarkeit

Man betrachte ein polynomiales System

mit dem Vektorfeld f : R n → R n und dem Skalarfeld h : R n → R. Der Fluss φ t ( · ) des Systems (25) existiere mindestens auf dem Zeitintervall [ 0 , T ] für T > 0. Das Beobachtbarkeitskonzept wird nachfolgend auf Basis von [27] eingeführt. Zwei Zustände x , z heißen nicht unterscheidbar auf dem Intervall [ 0 , T ], wenn

Das System (25) nennt man global beobachtbar, wenn im Zustandsraum paarweise verschiedene Punkte immer unterscheidbar sind. Das ist genau dann der Fall, wenn die Zuordnung

eines Anfangszustands x 0 auf die Ausgangskurve im Zeitintervall [ 0 , T ] eine injektive Abbildung ist [47]. Die Ausgangskurve lässt sich in eine konvergente Taylorreihe

mit den Lie-Ableitungen L f i h von h entlang f entwickeln [48]. Die mehrfachen Lie-Ableitungen sind dabei durch die Rekursion L f i + 1 h ( x ) = L f ( L f i h ) ( x ) mit L f 0 h ( x ) = h ( x ) definiert. Zwei unendliche Reihen stimmen genau dann überein, wenn ihre Koeffizienten übereinstimmen. Damit lässt sich die Frage nach der Injektivität von (27) auf die Abbildung

des Zustands x ∈ R n in den Folgenraum R ∞ übertragen. Wählt man aus diesem unendlichdimensionalen Folgenraum die ersten k Elemente aus, so wird man auf die Beobachtbarkeitsabbildung

geführt. Wenn die Beobachtbarkeitsabbildung (30) für ein bestimmtes k injektiv ist, dann ist auch (27) injektiv und das System ist global beobachtbar. Die Umkehrung gilt nicht zwangsläufig. Aus topologischer Sicht ist bei einem System mit einem skalaren Ausgang Injektivität nur für k ≥ n möglich. Im Fall eines linearen zeitinvarianten Systems erhält man unter Nutzung des Satzes von Cayley-Hamilton eine hinreichende und notwendige Bedingung mit k = n, die letztlich dem Kalmanschen Beobachtbarkeitskriterium entspricht. Bei einem nichtlinearen System (25) kann es auch nötig sein, k > n zu wählen [22].

5.2 Nachweis globaler Beobachtbarkeit

Für die formale Beobachtbarkeitsanalyse mittels Quantorenelimination betrachte man ein System (25). Die Beobachtbarkeitsabbildung (30) ist definitionsgemäß injektiv, wenn gilt

Die Bedingung (31) kann man unmittelbar als pränexe Formel darstellen:

Für Systeme ohne zusätzliche Parameter führt die Quantorenelimination von (32) auf die Aussage „wahr“ oder „falsch“. Im ersten Fall ist das System global beobachtbar, im zweiten Fall ist jedoch keine direkte Aussage zur Beobachtbarkeit möglich. Dann würde man k vergrößern und daraufhin erneut eine Quantorenelimination durchführen.

Systemparameter kann man als freie Variablen auffassen. Die Elimination der Quantoren in (32) führt dann auf eine semialgebraische Menge in diesen Parametern. Ist die Injektivität von (30) für keine Parameterkombination gegeben, dann erhält man das Ergebnis „falsch“.

Die bei einem technischen System auftretenden Parameter unterliegen in der Regel Toleranzen. Für eine simultane Beobachtbarkeitsanalyse unter Beachtung aller im Rahmen der Toleranzen zulässigen Parameter kann man zusätzlich die betreffenden Parameter quantifizieren.

Für eine lokale Beobachtbarkeitsanalyse greift man oft auf die Beobachtbarkeitsmatrix

d. h. auf die Jacobimatrix der Beobachtbarkeitsabbildung (30), zurück [27], [4], [47]. Unter bestimmten Zusatzbedingungen lässt sich die Beobachtbarkeitsmatrix auch für eine globale Beobachtbarkeitsaussage heranziehen [68], [36]. In den betreffenden Sätzen wird jedoch die Regularität bzw. die Spaltenregularität der Beobachtbarkeitsmatrix vorausgesetzt.

Die betreffenden Überlegungen zur Beobachtbarkeitsanalyse lassen sich auch auf Systeme mit mehr als einem Ausgang verallgemeinern. In diesem Fall liegt eine vektorielle Ausgangsabbildung h : R n → R p mit

vor. Anstelle der Beobachtbarkeitsabbildung (30) prüft man dann die Abbildung

mit den Indizes ( k 1 , … , k p ) auf Injektivität, wobei die Bedingungen (31) bzw. (32) entsprechend zu übertragen sind. Indizes ( k 1 , … , k p ), für welche die Abbildung (37) injektiv ist, kann man als Pseudobeobachtbarkeitsindizes auffassen [12]. Dazu muss die Bedingung ∑ i = 1 p k i ≥ n erfüllt sein. Für eine robuste Zustandsschätzung sollten die benötigen Zeitableitungen des Ausgangs und damit die Indizies k i möglichst klein sein. Eine derartige Auswahl führt auf die Beobachtbarkeitsindizes [37].