Compact encodings of the connectivity of planar triangulations is a very important subject not only in graph theory but also in computer graphics. For triangle meshes used in computer graphics the topologically planar regions dominate by far. New results by Isenburg et al. [6] even show that the connectivity is sufficient to describe shape by itself. Most coding methods for planar triangulations can be extended to manifolds of bounded genus with the same upper and lower bounds on the bit rate.
In 1962 Tutte enumerated the number of different planar triangulations and his results show, that at least 3.245 bits per vertex are necessary to encode the connectivity graph of planar triangulations. In this article we improve the so far best upper bound [5] and show that the connectivity of a planar triangulation can be encoded with less than 3.525 bits per vertex, while ensuring a linear run time for encoding and decoding.
Die Suche nach kompakten Codierungen der Konnektivität von ebenen Triangulierungen ist eine sehr wichtige Fragestellung nicht nur in der Graph-Theory, sondern auch in der Computer-Graphik. In den meisten Dreiecksnetzen, die in der Computer-Graphik Anwendung finden, dominieren die topologisch ebenen Regionen. Neue Ergebnisse von Isenburg et al. [6] zeigen, dass alleine in der Konnektivität genügend Information zur Beschreibung von Form enthalten ist. Die meisten Codierungsmethoden für ebene Triangulierungen können auf Mannigfaltigkeiten mit beschränktem Geschlecht so erweitert werden, dass die oberen und unteren Schranken für den Speicherbedarf erhalten bleiben.
Tutte hat 1962 die Anzahl der verschiedenen ebenen Triangulierungen bestimmt und seine Ergebnisse zeigen, dass man mindesten 3.245 Bits pro Knoten zum Codieren der Konnektivität ebener Triangulierung benötigt. In diesem Artikel verbessern wir die bis dahin kleinste obere Schranke [5] und zeigen, dass die Konnektivität ebener Triangulierung in weniger als 3.525 Bits pro Knoten codiert werden kann, wobei sowohl Codierungs- wie Decodierungsalgorithmus einen linearen Zeitaufwand in der Anzahl der Knoten haben.
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