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Sur les types des propositions composées

Published online by Cambridge University Press:  12 March 2014

G. Pólya*
Affiliation:
École Polytechnique Fédérale, Zurich

Extract

Il s'agit d'un problème combinatoire de logique formelle, formulé par Jevons; il sera expliqué en détails dans ce qui suit (voir no. 1). Jevona luimême n'a traité le problème que dans les cas les plus simples (n = 1, 2, 3); un cas plus difficile (n = 4) a été traité par Clifford; le cas général (n quelconque) a été à peine abordé.

Le but de ce travail est de faire remarquer que ce problème de Jevons et de Clifford est contenu comme cas particutier dans un problème combinatoire général que j'ai traité ailleurs. La méthode générale ramène le problème présent à l'étude d'un certain groupe de permutations d'ordre n!2n, étroitement lié au groupe symétrique d'ordre n!. J'ai fait les calculs nécessaires pour n = 1, 2, 3, 4. Mes résultats numèriques sont complètement en accord avec les résultats de Jevons, mais ils ne s'accordent qu'en partie avec les résultats de Clifford.

Une proposition peut être vraie ou fausse. On peut exprimer la même chose en disant que nous pouvons attribuer à une proposition l'une ou l'autre des deux “valeurs logiques” qui s'excluent mutuellement: la “vérité” et la “fausseté.”

Type
Research Article
Copyright
Copyright © Association for Symbolic Logic 1940

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References

1 Jevons, W. S., The principles of science (London and New York, second edition, reprint 1892). Voir p. 134146Google Scholar.

2 Clifford, W. K., Mathematical papers (London 1882), p. 116Google Scholar.

3 Schröder, E., Algebra der Logik, t. I, Anhang 6 (voir en particulier p. 659683)Google Scholar traite le problème en détail et en donne une représentation géométrique importante qui sera utilisée dans ce qui suit. Schröder, voir p. 671, ne comprend pas tout à fait le point de vue de Jevons qui sera expliqué plus loin; voir no. 3, remarque 1, p. 102. Voir aussi Nagy, A., Monatshefte für Mathematik und Physik, t. 5 (1894), p. 331345CrossRefGoogle Scholar; on y trouve quelques autres citations.

4 Pólya, G., (a) Zeitschrift für Kristallographie (A), t. 93 (1936), p. 415443Google Scholar; (b) Acta mathematica, t. 68 (1937), p. 145254CrossRefGoogle Scholar. Le travail (a) est plus détaillé en certains points, mais ne donne pas les démonstrations qui se trouvent en (b).

5 J'écris les signes logiques à la manière adoptee par Hilbert, D. et Aekermann, W., Grundzüge der theoretischen Logik (Berlin 1928)Google Scholar.

6 Au cas n = 2 on a 16 propositions composées de 6 types différents; voir l'énumeration complète à la fin du no. 2 (p. 101).

7 Le groupe d'ordre n!2n des mouvements de l'hypercube qui échange entre eux les 2n sommets de l'hypercube échange également entre elles les 2n faces de l'hypercube (ou, ce qui revient au même, les 2n sommets de l'hyperoctaèdre placés au milieu de ces faces) et occasionne ainsi un groupe de permutations d'ordre n!2n et de degré 2n. La structure de ce dernier groupe peut être complètement caractérisée par le symbole et, par conséquent, son indicateur des cycles peut être construit explicitement. Voir 1.c., note 4, p. 178–180 et, pour l'exemple n = 3, p. 213–214.

8 1, 7, 193, 63775 pour n = 1, 2, 3, 4. Voir Jevons 1.c. note 1.