Darstellung formaler Beweise

Zusammenfassung

In dieser Arbeit wird ein Ansatz zur verständlichen Darstellung formaler Beweise vorgestellt. Die enge Übereinstimmung zwischen dem Entwicklungsprozeß formaler Beweise und dem Entwicklungsprozeß eines Programms erlaubt, bekannte Prinzipien und Techniken des Programmentwurfs auf den Entwurf und die Darstellung formaler Beweise zu übertragen. Dies führt zu hierarchisch gegliederten formalen Beweisen, die in einem Stil präsentiert werden, der Knuth’s „literate programming” nachempfunden ist und der transformationelle Beweise betont. Die Beschreibung zweier Experimente illustriert die Praktikabilität des Ansatzes. Hierbei werden, dem Präsentationsansatz folgend, formale Beweise dargestellt, die zum einen in einer statischen Beweissprache ausgedrückt und zum anderen für einen interaktiven Theorembeweiser programmiert sind. Es wird jeweils beschrieben, wie der Präsentationsansatz für den entsprechenden logischen Kalkül angepaßt wurde und welche Werkzeuge die Darstellung unterstützen. Anschließend werden mit diesen Werkzeugen formale Beweise von nichttrivialen mathematischen Sätzen dargestellt. Die Beobachtung, daß zwei wesentliche Elemente des Präsentationsansatzes — nämlich die Komposition von formalen Herleitungen und deren hierarchische Verfeinerung — in herkömmlichen logischen Beweiskalkülen fehlen, führt zur Formulierung eines algebraischen Beweiskalküls, in dem formale Herleitungen selbst Formeln sind, sowie miteinander komponiert und verfeinert werden können. Der Hauptbeitrag dieser Arbeit besteht demnach in dem praktischen Nachweis, daß Komposition und Verfeinerung als primitive Konstruktionselemente formaler Beweiskalküle zur Verbesserung der verständlichen Darstellung formaler Beweise beitragen, der Formulierung einer algebraischen Semantik für einen solchen Beweiskalkül und der Entwicklung von Techniken und Werkzeugen zur Präsentation formaler Beweise in herkömmlichen formalen Beweissystemen.