Neue Rechnerarithmetiken und ihr Einfluss auf Architektur und Programmierung zukünftiger Rechnersysteme (Übersichtsvortrag)

Zusammenfassung

Frühe Programmiersprachen vermeiden — wohl aus historischen Gründen — eine präzise Definition der Eigenschaften der arithmetischen Verknüpfungen und der Rundungen. Der Vortrag faßt umfangreiche Forschungsaktivitäten auf dem Gebiete der Rechnerarithmetik zusammen, welche während der letzten 15 Jahre durchgeführt wurden. Er gibt auch einen Überblick Liber Erfahrungen mit verschiedenen Implementierungen der gewonnenen Ergebnisse.

Die Darstellung beginnt mit einer vollständigen Auflistung der Räume, welche beim numerischen Rechnen mit Rechenanlagen auftreten. Dies führt bereits auf eine neue, sehr allgemeine Definition von Rechnerarithmetik. Es wird dann zunächst anhand einiger Beispiele auf offensichtliche Schwächen herkömmlicher Rechnerarithmetiken und Programmiersprachen hingewiesen und es werden deren Auswirkungen in der numerischen Mathematik aufgezeigt. Anschließend wird dann ein neues Konzept zur Definition der Rechnerarithmetik behandelt. Die arithmetischen Verknüpfungen werden hier mittels eines allgemeinen mathematischen AbbiIdungsprinzipes erklart, welches als Semimorphismus bezeichnet wird. Es werden die Eigenschaften von Semimorphismen diskutiert und es wird ferner darauf eingegangen, wie man diese Eigenschaften erhält und wir man si e zweckmäßiger Weise auf Rechenanlagen implementiert. Die Eigenschaften des Semimorphismus eignen sich zur axiomatischen Definition der arithmetischen Verknüpfungen und der Rundungen in Programmiersprachen.

Es wird dann darauf hingewiesen, warum man im allgemeinen die mittels des Prinzipes des Semimorphismus erklärten arithmetischen Verknüpfungen über herkömmliche Programmiersprachen nicht befriedigend ansprechen kann. Dies hat zu entsprechenden Erwei- terungen der Sprachen PASCAL und FORTRAN geführt.

Die Ideen der neuen Arithmetik sind inzwischen auf verschiedenen Prozessoren implementiert worden. Dies schließt auch die notwendigen Spracherweiterungen ein. Dem Vortrage wird eine Demonstration eines Rechners, welcher mit der neuen Arithmetik ausgestattet ist, folgen.

Es stellt sich heraus, daß der neuen Arithmetik in der numerischen Analysis eine Schlüsselrolle bei der automatischen Fehlerkontrolle durch den Rechner selbst zukommt. Anhand von zahlreichen allgemeinen Programmpaketen wird demonstriert, daß man bei einer großen Anzahl von Problemen garantierte Schranken mit maximaler Genauigkeit erhalten kann. Der Rechner beweist zudem noch die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung innerhalb der berechneten Schranken. Ist diese nicht gegeben, so stellt er dies fest.