Zusammenfassung
Aus der Behandlung der Optimalen Skalierung von Analogrechenschaltungen ergab sich folgendes Problem: Zugrundegelegt wird als zulässiger Optimierungsbereich S0 eine nichtleere, abgeschlossene, beschränkte und konvexe Teilmenge desR n. Unter allen Vektorenx ∈S 0 werden zunächst diejenigen gesucht, deren kleinste Komponente den inS 0 größtmöglichen Wert hat. Ihre Menge sei mitS 1 bezeichnet. Dann werden in einer zweiten Optimierungsstufe diejenigenx ∈S 1 gesucht, deren zweitkleinste Komponente den inS 1 größtmöglichen Wert hat. Das so fort bis zurn-ten Stufe. Das Problem hat eine eindeutige Lösung, die sich, wie die Arbeit zeigt, rekursiv durch Lösen von einstufigen Max-Min-Optimierungsproblemen finden läßt. Es wird ein allgemeines Rechenverfahren angegeben. Sind die Nebenbedingungen linear, so können die auf den einzelnen Stufen zu lösenden Max-Min-Optimierungsprobleme auf Probleme der Linearen Optimierung zurückgeführt werden. Für diesen Fall wird ein ausgetestetes ALGOL-Programm angegeben.
Summary
The question of optimal scaling of analogue computer set-ups leads to the following problem: LetS 0, the feasible region of optimization, be defined as a non-empty, closed, bounded, and convex subset ofR n. The first problem is to find those vectorsx ∈S 0 whose smallest component has the greatest possible value inS 0. Let the set of these “optimal” vectors beS 1. The second stage of the optimization process consists of finding thosex ∈S 1 whose second-smallest component has the greatest possible value inS 1. Continue this process up to then-th stage. The paper shows that the optimization problem has a unique solution which can be found recursively by solving a certain number of one-stage-max-min-optimization problems. A general algorithm will be given. If the constraints of then-stage-max-min-optimization problem are linear, the one-stage-max-min-optimization problems mentioned above can be reduced to Linear Programming problems. For this case a tested ALGOL-programme will be given.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Abbreviations
- A ×B :
-
kartesisches Produkt
- A ⊂B :
-
Inklusion, dieA=B nicht ausschließt
- A\B :
-
Differenzmenge
- {a}:
-
einpunktige Menge
- {i 1,...,i n }:
-
endliche Indexmenge
- A ∩B :
-
Durchschnitt
- A ∪B :
-
Vereinigung
- a ∈A :
-
a Element vonA
- Ø:
-
leere Menge
- ∥x∥:
-
Norm
- a≔b :
-
a wird definiert durchb
- {x|...}:
-
Menge allerx mit der Eigenschaft ...
- min (x 1,...,x n ) min (x k ) min (x) 1 − min (x):
-
kleinste Komponente des Vektorsx≔(x 1,...,x n )≔(x k ) k
- 2 − min(x):
-
zweitkleinste Komponente des Vektorsx
- 3 − min (x):
-
drittkleinste Komponente des Vektorsx
- lexico-max(x)x ∈S :
-
lexikographisches Maximum über alle Vektorenx ∈S
- ∧:
-
logische Konjunktion
- ∨:
-
logische Disjunktion
- ∧:
-
Allzeichen, Mehrfachkonjunktion
- ∨:
-
Existenzzeichen, Mehrfachdisjunktion
Literaturverzeichnis
Behringer, F. A.: Optimale Skalierung gewisser auf dem Analogrechner zu lösender Differentialgleichungssysteme durch lineare Optimierung. Ann. Ass. Int. Cal. Anal. 12 (1970), S. 64–74.
Knudsen, H. K.: The Scaling of Digital Differential Analyzers. IEEE-Transactions EC 1965, S. 583 bis 590.
Künzi, H. P., H. G. Tzschach, undC. A. Zehnder: Numerische Methoden der mathematischen Optimierung, Stuttgart 1967.
Author information
Authors and Affiliations
Additional information
Diese Arbeit ist Teil einer am Institut für Angewandte Mathematik der Technischen Hochschule München unter Anleitung von Herrn o. Prof. Dr. rer. nat. habil.J. Heinhold angefertigten Dissertation.
Vorgel. v.:J. Heinhold.
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Behringer, F.A. KonvexeN-Stufen-Max-Min-Optimierung. Unternehmensforschung Operations Research 14, 276–296 (1970). https://doi.org/10.1007/BF01918275
Received:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF01918275