Die graphentheoretische Lösung eines nichtlinearen Zuteilungsproblems

Zusammenfassung

Gegenstand dieser Untersuchung ist ein nichtlineares Zuteilungsproblem der folgenden Art: Gegeben sindn Elementex ₁, ...,x _n . Je zweien dieser Elemente wird eine sogenannte Widerstandszahl zugeordnet:r(x _i ,x _j )=r(x _j ,x _i )=r _ij . Die Elemente sind so aufq Klassen: K₁, ...,K _q zu verteilen, daß der Gesamtwiderstandr:

$$r = \mathop \sum \limits_{s = 1{\text{ }}x_i ,}^q \mathop \sum \limits_{x_j \in K_s } r_{ij} $$

minimal ist. Es wird eine Methode zur Bestimmung der optimalen Lösung beschrieben. Dabei kommen Hilfsmittel zur Verwendung, die im Zusammenhang mit Färbungsproblemen von Graphen entwickelt wurden.

Summary

A nonlinear assignment problem of the following kind is considered: Givenn elementsx ₁, ...,x _n . Any pair of these elements is provided with a number of resistance:r(x _i ,x _j )=r(x _j ,x _i )=r _ij . The elements have to be assigned toq classesK ₁, ...,K _q , so that the total resistance

$$r = \mathop \sum \limits_{s = 1{\text{ }}x_i ,}^q \mathop \sum \limits_{x_j \in K_s } r_{ij} $$

is minimized. A method is presented to determine an optimal solution. The method is based on notions and theorems developed in connection with colour-problems of graphs.