Decomposition of bipartite multigraphs into matchings

Summary

In this paper we show that a bipartite multigraphG in which no vertex is adjacent to more thann edges may be decomposed into any numbern ^*≥n of matchings in such a way that the number of edges in each of these matchings differ from one another by at most one unit. When the two sets of verticesX and¯X ofG are partitioned into subsetsX _i and¯X _j respectively, we give conditions for the existence of a decomposition ofG inton ^*≥n matchings such that each matching contains at mostα _i edges adjacent to vertices inX _i and at mostβ _j edges adjacent to vertices in¯X _j .

There are many practical problems of scheduling with resource limitations for which such decompositions of a bipartite graph are required; some examples are given.

Zusammenfassung

Es wird gezeigt, daß ein bipartiter MultigraphG, in dem in keinem Knoten mehr alsn Kanten zusammenstoßen, in eine beliebige Zahln ^*≥n von „matchings“ dekomponiert werden kann, und zwar derart, daß die Zahl der Kanten in jedem dieser „matchings“ untereinander um höchstens eins differiert. Mit dem Aufteilen der beiden KnotenmengenX und ¯X vonG in UntermengenX _i und¯X _j werden Bedingungen für die Existenz einer Dekomposition vonG inn ^* ≥n „matchings“ angegeben, wobei jedes „matching“ höchstensα _i (β _j ) Kanten enthält, die in den KnotenX _i (bzw.¯X _j ) zusammenstoßen.

Es gibt viele praktische Planungsprobleme mit beschränkten Ressourcen, für die solche Dekompositionen von bipartiten Graphen verlangt werden; einige Beispiele werden angeführt.