Convergence properties of discrete analogs of orthogonal polynomials

Summary

If (,) is an inner product on [a, b], and if [,] _N is a discrete inner product analogous to (,), and such that [1, 1] _N =(1, 1), then, a sufficient condition that the discrete orthogonal polynomials converge to the corresponding continuous orthogonal polynomials likeN ^−p, is that [1,t ^k] _N =(1,t ^k)+O(N ^−p),k=1, 2, ... A similar result holds for correspondingFourier segments.

Zusammenfassung

Falls (,) ein Skalarprodukt auf [a, b] darstellt und [,] _N das entsprechende diskrete Skalarprodukt bedeutet, wobei [1, 1] _N =(1, 1) gilt, dann ist die Bedingung [1,t ^k] _N =(1,t ^k)+0(N ^−p),k=1, 2, ..., hinreichend dafür, daß die diskreten orthogonalen Polynome zu den entsprechenden kontinuierlichen Polynomen wieN ^−p konvergieren. Ein ähnliches Ergebnis gilt für entsprechendeFouriersegmente.