Einige abstrakte Begriffe in der numerischen Mathematik (Anwendungen der Halbordnung)

Zusammenfassung

In vielen Wissenschaften, so auch in der Angewandten Mathematik, hat sich in letzter Zeit ein innerer Strukturwandel, insbesondere eine starke Wendung zum Abstrakten hin, vollzogen, welche sich z. B. in der ausgiebigen Verwendung funktionalanalytischer Methoden äußert. In diesem zusammenfassenden Vortrag wird versucht, am Beispiel der Halbordnung die Verwendung und den Nutzen abstrakter Begriffe in der Numerischen Mathematik zu zeigen. Die Halbordnung wird u. a. benutzt bei den Begriffen:Rieszscher Halbordnungs-Banachraum, pseudometrischer Raum, Intervall, monotoner Operator, positiver Operator, lineare und nichtlineare Optimierung. Anwendungen der monotonen Operatoren werden beschrieben bei der Biegegleichung für Träger, bei Randwertaufgaben linearer und nichtlinearer elliptischer Differentialgleichungen, bei der Extrapolation für Anfangswertaufgaben und bei Eigenwertaufgaben. Es werden die Zusammenhänge zwischen verschiedenen Gebieten betont, z. B. zwischen Randwertaufgaben und Optimierungsaufgaben.

Summary

As in many branches of science, there has been a change of inner structure taking place in Applied Mathematics in recent times, with a marked turn towards abstraction, exemplified by the wide use of methods of functional analysis. In this summarizing lecture, an attempt is made to demonstrate the useful application of abstract notions in Numerical Mathematics, especially by means of the concept of partial order. This concept is used, for instance, in connection withRiesz' partially ordered Banachspaces, pseudometric spaces, intervals, monotone and positive operators, linear and nonlinear optimization. Applications of monotone operators are given for benting of beams, boundary value problems for linear and nonlinear elliptic differential equations, extrapolation for initial value problems and eigenvalue problems. Emphasis is laid on the interrelation between various problem areas, e.g. between boundary value problems and optimization problems.