Über die Approximationsmaße spezieller singulärer Integrale

Zusammenfassung

In dieser Arbeit werden wesentliche asymptotische Entwicklungen für Approximationsmaße spezieller trigonometrischer singulärer Integrale mit nicht-negativem Kern bezüglich der Approximation von stetigen, 2π-periodischen Funktionen, die zu denLipschitz-klassen Lip ^*₂ 1 (bzw. Lip₁ 1) und Lip ^*₂ 2 gehören, aufgestellt. Ein einfacher Zusammenhang zwischen den Approximationsmaßen eines singulären Integrals und den Momenten des entsprechenden Kernes erlaubt unter Verwendung der zugehörigen Konvergenzfaktoren eine elementare Berechnung dieser Entwicklungen, die einen weitergehenden Vergleich der Approximationsgüte verschiedener Kerne erlauben. Insbesondere wird der erste verallgemeinerte Kern vonJackson und der Kern vonFejér untersucht.

Summary

The author investigates the principal asymptotic expansion of the measure of approximation of particular singular integrals having a non-negative kernel with respect to the approximation of continuous, 2π-periodic functions belonging to theLipschitz classes Lip ^*₂ 1 (or Lip₁ 1) and Lip ^*₂ 2. A simple connection between the measure of approximation of a singular integral and the moments of the corresponding kernel enables one to calculate these expansions in an elementary way using the associated convergence factors. Thereby a more precise comparison of the quality of approximation by various kernels is possible. In particular the first generalized kernel ofJackson andFejér's kernel are considered.