A functional analytic approach to the numerical solution of nonlinear elliptic equations

Summary

This paper deals with the approximation of weak solutions of non-linear elliptic equations of the type

$$\sum\limits_{i,j = 1}^n {({\partial \mathord{\left/ {\vphantom {\partial {\partial x_i }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }})(a_{ij} (x){{\partial u} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial u} {\partial x_j }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }})} + c(x)u = f,$$

where eitherf=f(x, u) orf=f(x, u, ∇u). The differential equation is replaced by difference equations and convergence of the solutions of the difference equations to the solution of the differential equation is proven by functional analytic means. This enables us to give a unified treatment of the convergence of solutions of elliptic difference equations to the solution of the elliptic differential equation.

Zusammenfassung

Diese Arbeit behandelt die Approximation von schwachen Lösungen nicht-linearer elliptischer Differentialgleichungen des Typs

$$\sum\limits_{i,j = 1}^n {({\partial \mathord{\left/ {\vphantom {\partial {\partial x_i }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }})(a_{ij} (x){{\partial u} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial u} {\partial x_j }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }})} + c(x)u = f,$$

wof=f(x, u) oderf=f(x, u, ∇u). Die Differentialgleichung wird durch Differenzengleichungen ersetzt und die Konvergenz der Lösungen der Differenzengleichungen wird mit Hilfe der Funktionalanalysis bewiesen. Dies ermöglicht uns, eine einheitliche Behandlung der Konvergenz von Lösungen von elliptischen Differenzengleichungen gegen die Lösung einer elliptischen Differentialgleichung anzugeben.