Some results on the set of congruence relations in a finite, strongly connected automaton

Summary

The congruence relations of an automaton are of interest for various reasons. For example they are relevant for minimization procedures and they are suitable for decomposing the automaton in a specific way which is of technical importance [Hartmanis et al.].

In this paper we have investigated the interconnection between the automorphism groupG (A) and the latticeR (A) of congruence relations of an automaton. This interconnection is primarily based on a Galois connection between the subgroup lattice ofG (A) and the latticeG (A), which characterizes a subset ofR (A) in terms of groups. Assuming that group theory is the trivial part of the theory of semigroups, the attention is directed to the remainder ofR (A) which is not characterized byG (A) in the way mentioned above.

This remainder, however, has not been inspected for the general case, which seems to be a hopeless task, but for the class of so called right regular automata.

In the last section some theoretical background for a systematic procedure in obtaining all congruence relations of an automaton as well as its endomorphism semigroup has been developed.

Zusammenfassung

Die Kongruenzrelationen eines Automaten sind aus verschiedenen Gründen von Interesse. Zum Beispiel bilden sie die Grundlage für Minimisierungsverfahren, oder sie geben die Möglichkeit, einen Automaten in einer Weise zu zerlegen, die technisch bedeutsam ist [Hartmanis et al.].

In der vorliegenden Arbeit haben wir den Zusammenhang zwischen der AutomorphismengruppeG (A) und dem KongruenzenverbandR (A) eines Automaten untersucht. Dieser Zusammenhang beruht hauptsächlich auf einer Galoisverbindung zwischen dem Untergruppenverband vonG (A) und dem VerbandR (A). Dadurch ist eine Teilmenge vonR (A) durch Gruppen zu kennzeichnen. Unterstellt man, daß die Gruppentheorie der triviale Teil der Theorie der Halbgruppen ist, so richtet sich das Interesse auf den verbleibenden Anteil vonR (A), der nicht durchG (A) charakterisiert wird. Ihn in Allgemeinheit zu untersuchen scheint ein aussichtsloses Unterfangen zu sein, weshalb wir uns auf die Klasse der sogenannten rechtsregulären Automaten beschränkt haben.

Im letzten Abschnitt wird der theoretische Hintergrund für ein Verfhren entwickelt, das sowohl die Kongruenzen eines Automaten als auch dessen Endomorphismenhalbgruppe systematisch zu erstellen gestattet.