Runge Kutta processes with multiple nodes

Summary

This paper studies generalisations of the classicalRunge Kutta processes. The generalisation is in such a way, that not only the functionsf(x, y) are evaluated at some intermediate points, but in addition the functionsDf, D ² f, ...,D ^m f, where D is the differential operator defined by (1.3) and corresponds to a differentiation with respect tox. Since, in recent years, many authors have found recursion formulas for an automatic evaluation ofD ^k f (k=1, 2, ...) the methods in this paper can be implemented in a convenient way. In Part 1 we develop the general form of conditions for the coefficients of these processes extending thereby results ofJ. C. Butcher [1]. These equations are even more complicated than those for classical processes.

In Part 2 it is shown thatFehlberg's method can be regarded as a generalizedRunge Kutta process with onem-fold node and additional single nodes. Moreover we give examples of some explicit processes with multiple nodes and numerical results.

The authors wish to acknowledge their discussions with Prof.J. C. Butcher.

Zusammenfassung

Diese Arbeit gibt eine Verallgemeinerung der klassischen Runge-Kutta-Methoden. Dies geschieht in der Weise, daß nicht nur die Funktionenf(x, y), sondern auch die AbleitungenDf, D ² f, ..., an bestimmten Zwischenstellen ausgewertet werden. Mit Hilfe der üblichen Rekursionsformeln für eine automatische Berechnung vonD ^k f kann diese Methode in vorteilhafter Weise benützt werden.

Im ersten Teil entwickeln wir die allgemeinen Bedingungsgleichungen für die Koeffizienten und verallgemeinern dabei die Resultate vonButcher [1]. Im zweiten Teil wird gezeigt, daß das Fehlberg-Verfahren als ein spezielles Runge-Kutta-Verfahren interpretiert werden kann. Abschließend geben wir einige Beispiele expliziter Verfahren mit mehrfachen Knoten und numerische Beispiele.