Skip to main content
SpringerLink
Log in

Best mean rational approximation

Beste mittlere Rationalapproximation

  • Published:
Computing Aims and scope Submit manuscript

Summary

The properties of best rational approximations with respect to a generalized integral norm on [a, b], which includes allL p norms, 1≤p<∞, are considered. A necessary condition for an approximation to be (locally) best is obtained. A lower bound is given on the number of sign changes of the error curve or the number of points of interpolation. The problem of when a best approximation by polynomial rational functions can be degenerate is studied: it is shown that iff is analytic, degenerater is best tof only iff=r. Some non-uniqueness results for approximation of odd and even functions by polynomial rational functions are given. An example is given in which a local minimum of the error is not a global minimum.

Zusammenfassung

Betrachtet werden die Eigenschaften der besten rationalen Approximation mit Rücksicht auf ein verallgemeinertes Integralnorm auf [a, b], das einL p -Norm einschließt 1≤p<∞, erhalten wird eine notwendige Bedingung, wenn eine Approximation (lokal) am besten ist. Gegeben wird eine untere Grenze für die Anzahl der Zeichenwechsel der Fehlerkurve oder für die Anzahl der Interpolationspunkte. Untersucht wird das Problem, wann eine beste Approximation bei rationalen Polynomfunktionen entartet sein kann: es wird gezeigt, daß, wennf analytisch ist, ein entartetesr am besten zuf nur dann ist, wennf=r. Einige nicht eindeutige Resultate für Approximationen von geraden und ungeraden Funktionen bei rationalen Polynomfunktionen werden gegeben. Ein Beispiel ist angeführt, in dem ein lokales Fehlerminimum nicht ein globales Minimum ist.

This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.

Access this article

Log in via an institution

Price excludes VAT (USA)
Tax calculation will be finalised during checkout.

Instant access to the full article PDF.

Institutional subscriptions

Similar content being viewed by others

References

  1. Cheney, E. W., andA. A. Goldstein: Mean Square Approximation by Generalized Rational Functions. Math. Zeitschr.95, 232–241 (1967).

    Google Scholar 

  2. Dunham, C. B.: Chebyshev Approximation by Families with the Betweeness Property. Trans. Amer. Math. Soc.136, 151–157 (1969).

    Google Scholar 

  3. Dunham, C. B.: Degeneracy in Mean Rational Approximation. J. Approximation Theory4, 225–229 (1971).

    Google Scholar 

  4. Walsh, J. L., andT. S. Motzkin: Best Approximators within a Linear Family on an Interval. Proc. Nat. Acad. Science46, 1125–1233 (1960).

    Google Scholar 

  5. Dunham, C. B.: Existence of Best Mean Rational Approximations, J. Approximation Theory4, 269–273 (1971).

    Google Scholar 

  6. Brosowski, B.: Über die Eindeutigkeit der rationalen Tschebyscheff-Approximationen, Numer. Math.7, 176–186 (1965).

    Google Scholar 

  7. Rice, J.: The Approximation of Functions, Vol. 2. Reading, Mass.: Addison-Wesley. 1969.

    Google Scholar 

  8. Lamprecht, G.: Zur Mehrdeutigkeit bei der Approximation in derL p -Norm mit Hilfe rationaler Funktionen. Computing5, 349–355 (1970).

    Google Scholar 

Download references

Author information

Authors and Affiliations

  1. Computer Science Department, University of Western Ontario, London 72, Canada

    C. B. Dunham

Authors
  1. C. B. Dunham
    View author publications

    You can also search for this author in PubMed Google Scholar

Rights and permissions

Reprints and permissions

About this article

Cite this article

Dunham, C.B. Best mean rational approximation. Computing 9, 87–93 (1972). https://doi.org/10.1007/BF02236958

Download citation

  • Received:

  • Issue Date:

  • DOI: https://doi.org/10.1007/BF02236958

Keywords

Search

Navigation