An algorithm for determining the size of symmetry groups

Abstract

To determine the symmetry group of pointor Lie-symmetries of a differential equation is of great theoretical and practical importance, in particular for determining closed form solutions. There does not seem to exist an algorithm that finds this group in general. However, it is always possible to determine thesize of the symmetry group. In this article an algorithm is described that determines for any system of algebraic partial differential equations the number of parameters if the symmetry group is finite, and the number of unspecified functions and its arguments if it is infinite. To this end the so calleddetermining system is transformed into aninvolutive system by means of a critical-pair/completion algorithm similar like it is applied for computing Gröbner bases in polynomial ideal theory. The foundation for obtaining this form is the theory of Riquier and Janet for partial differential equations. The algorithmInvolution System has been implemented in several computer algebra systems as part of the packageSPDE. Various results that have been obtained by applying it are presented as well. If symmetry analysis is considered as part of the more general process of obtaining the best possible information on the solutions of a differential equation, the algorithm described in this article removes the heuristics which is usually involved in making the transition from analytical to numerical methods.

Zusammenfassung

Die Bestimmung der Symmetriegruppe von Punkt- oder Lie Symmetrien einer Differentialgleichung ist von großer theoretischer und praktischer Bedeutung, besonders um Lösungen in geschlossener Form zu finden. Es scheint keinen Algorithmus zu geben, der diese Gruppe im allgemeinen Fall findet. Es ist jedoch immer möglich, dieGröße der Symmetriegruppe zu finden. In diesem Artikel wird ein Algorithmus beschrieben, der für ein beliebiges System algebraischer Differentialgleichungen die Anzahl der Paramter für eine endliche Symmetriegruppe und die Anzahl der unbestimmten Funktionen und ihre Argumente für eine unendliche Gruppe bestimmt. Dazu wird das bestimmende System in involutive Form transformiert mit Hilfe eines sogenannten Vervollständigungsalgorithmus ähnlich wie bei der Berechnung von Gröbnerbasen in der Polynom- Idealtheorie. Die Grundlage dieses Algorithmus ist die Theorie partieller Differentialgleichungen von Riquier und Janet. Der AlgorithmusInvolution System ist in mehreren Computer-Algebra Systemen als Teil des Pakets SPDE implementiert. Verschiedene Ergebnisse, die damit erhalten wurden, werden ebenfalls beschrieben. Die Symmetrieanalyse ist Teil eines allgemeineren Prozesses, nämlich die bestmögliche Information über die Lösungen von Differentialgleichungen zu erhalten. In diesem Prozeß behebt der Algorithmus, der in dieser Arbeit beschrieben wird, zu einem großen Teil die Heuristik, die üblicherweise beim Übergang zu numerischen und graphischen Methoden involviert ist.