Coupling strategy for matching different methods in solving singularity problems

Abstract

For solving elliptic boundary value problems with singularities, we have proposed the combined methods consisting of the Ritz-Galerkin method using singular (or analytic) basic functions for one part,S ₂, of the solution domainS, where there exist singular points, and the finite element method for the remaining partS ₁ ofS, where the solution is smooth enough. In this paper, general approaches using additional integrals are presented to match different numerical methods along their common boundary Г₀. Errors and stability analyses are provided for such a general coupling strategy. These analyses are important because they form a theoretical basis for a number of combinations between the Ritz-Galerkin and finite element methods addressed in [7], and because they can lead to new combinations of other methods, such as the combined methods of the Ritz-Galerkin and finite difference methods. Moreover, the analyses in this paper can be applied or extended to solve general elliptic boundary value problems with angular singularities, interface singularity or unbounded domain.

Zusammenfassung

Zur Lösung elliptischer Randwert probleme mit Singularitäten haben wir kombinierte Methoden vorgeschlagen, die aus der Ritz-Galerkin-Methode mit singulären (oder analytischen) Basisfunktionen für einen TeilS ₂ des LösungsraumesS, in dem es singuläre Punkte gibt, und aus der Finite-Elemente-Methode für den restlichen TeilS ₁ vonS, wo die Lösung genügend glatt ist, bestehen. In dieser Arbeit werden allgemeine Ansätze, die zusätzliche Integrale verwenden, präsentiert, um verschiedene numerische Methoden längs ihres gemeinsamen Randes Г₀ zu verbinden. Fehler und Stabilitätsuntersuchungen für eine solche allgemeine Kombinationsstrategie werden angegeben. Diese Untersuchungen sind wichtig, da sie eine theoretische Grundlage für eine Reihe von Kombinationen zwischen der Ritz-Galerkin-Methode und der Finite-Elemente-Methode bilden, die in [7] angegeben werden, und weil sie zu neuen Kombinationen von anderen analogen Methoden führen können.

Außerdem können die Untersuchungen dieser Arbeit angewendet und erweitert werden, um allgemeine elliptische Randwert probleme mit Winkel-Singularitäten, Oberflächen-Singularitäten oder unbeschränkten Gebieten zu lösen.