Zur Axiomatisierung logarithmischer und halblogarithmischer Zahlensysteme

Abstract

Die Geschichte der numerischen Mathematik weist verschiedene Ansätze auf, durch Aufstellung von Axiomen für Näherungsarithmetiken mehr Kontrolle über das numerische Rechnen zu gewinnen. Dieses Vorgehen stößt zwangsläufig an Grenzen, die bei gleitkomma-artigen Näherungsarithmetiken im wesentlichen durch Verstoß gegen die Assoziativität der Addition gebildet werden. Durch eine entsprechende Abschwächung des reellen Axiomensystems gelangt man zu einem System, das auch von Näherungsarithmetiken erfüllt wird. Abschätzungen zeigen, daß Strukturen, die das abgeschwächte System erfüllen, nicht beliebig weit von vernünftigen Näherungsarithmetiken entfernt sein können. Es zeigt sich somit, daß eine Beschreibung von approximativen Strukturen durch approximationen der Gesetze der Originalstrukturen grundsätzlich möglich ist.

Zusammenfassung

In the history of numerical analysis there have been various approaches to gain stricter control of numerical computation by axiomatization of approximative arithmetic systems. In the case of floating-point-like systems, the limitations to this approach originate essentially in the fact that addition is not associative. By suitably weakening the axiomatic system of the real numbers we arrive at a system which can be fulfilled by approximative arithmetic structures. Comparisons show that structures fulfilling this system cannot be arbitrarily distant from reasonable approximative structures. This shows that it is possible to describe approximative structures by approximations of the laws of the original structure.