The Symm-Wilkinson method for improving an approximate eigenvalue and its associated eigenvector

Abstract

Here is discussed the Symm-Wilkinson method (called a relaxed algorithm in [4]) for improving an approximate simple eigenvalue of ann×n matrix and a corresponding approximate eigenvector which were obtained by some method. It is shown that their method is a Newton-like method applied to a system of nonlinear equations so that the process converges linearly under the usual assumptions. The Symm-Wilkinson method needs more multiplications than the standard Newton-like method applied to the same equations byn−1 at each step. Therefore, there does not seem to be any great advantage in using the former in place of the latter.

Zusammenfassung

Hier wird das Symm-Wilkinson-Verfahren diskutiert (ein sogenannter entspannender Algorithmus in [4]) zur Verbesserung eines approximativen einfachen Eigenwerts einern×n Matrix und seines zugehörigen approximativen Eigenvektors, die durch irgendein Verfahren erreicht werden. Das besagte Verfahren ist ein verallgemeinertes Newtonsches Verfahren, das auf ein nichtlineares Gleichungssystem angewandt wird, so daß unter gewöhnlichen Voraussetzungen der Prozeß linear konvergiert. Das Symm-Wilkinson-Verfahren braucht pro Schrittn−1 mehr Multiplikationen als das vereinfachte Newtonsche Verfahren, das auf dieselben Gleichungen angewandt wird. Es scheint also, daß aus der Verwendung jenes Verfahrens kein zusätzlicher Nutzen gezogen werden kann.