Nichtlineare Stabilität und Phasenuntersuchung adaptiver Nyström-Runge-Kutta-Methoden

Zusammenfassung

Für eine umfangreiche Klasse nichtlinearer steifer Differentialgleichungssysteme zweiter Ordnung wird die Stabilität adaptiver Nyström-Runge-Kutta-Verfahren untersucht. Wir zeigen, daß für eine große Klasse semidiskretisierter hyperbolischer und parabolischer Probleme die Restriktion der Schrittweite unabhängig von der Steifheit des Differentialgleichungssystems ist. Weiterhin verwenden wir die skalare Testgleichung$y'' = - \omega ^2 y + q \cdot e^{iv(t - t_0 )}$ und geben Bedingungen dafür an, daß die numerische erzwungene Schwingung mit der analytischen erzwungenen Schwingung in Phase ist. Die Konsistenzordnung adaptiver Nyström-Runge-Kutta-Verfahren (mit einer Stabilitätsmatrix, die auf einer diagnolen Padé-Approximation beruht), für die die erzwungene Schwingung mit ihrem analytischen Gegenstück in Phase ist, kann nicht größer als zwei sein. Diese Ordnungsbarriere gilt nicht fürr-stufige implizite Nyström-Methoden der Ordnungp=2r.

Abstract

The stability of adaptive Nyström-Runge-Kutta procedures is studied for a wide class of nonlinear stiff systems of second order differential equations. We show that for a large class of semi-discrete hyperbolic and parabolic problems the restriction of the stepsize is not due to the stiffness of the differential equation. Furthermore we use the scalar test equation$y'' = - \omega ^2 y + q \cdot e^{iv(t - t_0 )}$ to derive conditions which ensure that the numerical forced oscillation is in phase with the analytical forced oscillation. The order of adaptive Nyström-Runge-Kutta methods (with a stability-matrix based on a diagonal Padéapproximation) for which the forced oscillation is in phase with its analytical counterpart cannot be greater than two. This barrier of order is not true forr-stage implicit Nyström methods of orderp=2r.