Die Berechnung von Schranken für den Wertebereich eines Polynoms in einem Intervall

Zusammenfassung

Mit Hilfe einer Fehlerschranken-Arithmetik werden Schranken für das Minimum und Maximum eines PolynomsP(x), dessen Koeffizienten “Intervallzahlen” sein können, in einem Intervall [a, b] berechnet. Dazu werden die Nullstellen vonP′ (x) in Intervalle eingeschlossen, auf denenP (x) in geeigneter Weise ausgewertet wird. Die Nullstellen vonP′ (x) erhält man dadurch, daß man ausgehend von einer AbleitungP ⁽ⁱ⁾ (x) mitP ⁽ⁱ⁾ (x)≠o in [a, b] sukzessive die Nullstellen vonP ⁽ⁱ⁻¹⁾ (x) bisP′ (x) bestimmt. Dabei bedient man sich der Tatsache, daß zwischen zwei Nullstellen vonP ^(l) (x) höchstens eine Nullstelle vonP ^(l−1) (x) liegt. Die Nullstellen werden jeweils mittels des Halbierungsverfahrens in Intervalle eingeschlossen.

Summary

With the aid of an errorbound-arithmetic bounds are computer for the minimum and maximum of a polynomialP (x) in an interval [a, b]. The coefficients ofP (x) can be interval-numbers. To do this the zeros ofP′ (x) are enclosed in intervals whereP (x) is evaluated in a suitable manner. One gets the zeros ofP′ (x) by computing successively the zeros ofP ⁽ⁱ⁻¹⁾ (x) untilP′ (x) beginning with a derivationP ⁽ⁱ⁾ (x) with,P ⁽ⁱ⁾ (x)≠o. Thereby one uses the fact that between two zeros ofP ^(l) (x) there is utmost one zero ofP ^(l−1) (x). The zeros are enclosed in intervals by means of the method of interval-halfing.