Optimal interval enclosing of certain sets of matrices, with application to monotone enclosing of square roots

Abstract

In this paper, two kinds of partial ordering for symmetric matrices are related to each other, namely, the natural partial ordering ≤ generated by the coneK of elementwise nonnegative matrices, and the definite partial ordering$\leqslant \cdot$ generated by the coneK _D of nonnegative definite matrices. The main result of this paper shows how a matrix interval in the sense of the definite partial ordering can be enclosed between optimal bounds with respect to the natural partial ordering. By means of this result, it is possible to compute a numerically practicable inclusion based on the natural partial ordering from a given inclusion of some matrix with the definite partial ordering. In this way, an always and moreover quadratically convergent method of elementwise enclosing the square root of a positive definite, symmetric matrix can be constructed.

Zusammenfassung

In dieser Arbeit werden zwei Halbordnungen für symmetrische Matrizen zueinander in Beziehung gesetzt, nämlich die durch den KegelK der elementweise nichtnegativen Matrizen definierte natürliche Halbordnung ≤ und die durch den KegelK _D der nichtnegativ definiten Matrizen erzeugte definite Halbordnung$\leqslant \cdot$. Als Hauptresultat der Arbeit wird gezeigt, wie ein Matrixintervall im Sinne der definiten Halbordnung in optimale Schranken bezüglich der natürlichen Halbordnung eingeschlossen werden kann. Mit diesem Ergebnis ist es möglich, aus einer Lösungseinschließung mit der definite Halbordnung eine numerisch verwendbare Einschließung auf der Basis der natürlichen Halbordnung zu berechnen. Insbesondere kann auf diesem Wege ein stets und überdies quadratisch konvergentes Verfahren zur elementweisen monotonen Einschließung der Quadratwurzel einer symmetrischen, positiv definiten Matrix angegeben werden.