Some implementation issues associated with multidimensional interval Newton methods

Abstract

This paper presents the development of an optimal interval Newton method for systems of nonlinear equations. The context of solving such systems of equations is that of optimization of nonlinear mathematical programs. The modifications of the interval Newton method presented in this paper provide computationally effective enhancements to the general interval Newton method.

The paper demonstrates the need to compute an optimal step length in the interval Newton method in order to guarantee the generation of a sequence of improving solutions. This method is referred to as the optimal Newton method and is implemented in multiple dimensions.

Secondly, the paper demonstrates the use of the optimal interval Newton method as a feasible direction method to deal with non-negativity constraints. Also, included in this implementation is the use of a matrix decomposition technique to reduce the computational effort required to compute the Hessian inverse in the interval Newton method.

The methods are demonstrated on several problems. Included in these problems are mathematical programs with perturbations in the problem coefficients. The numerical results clearly demonstrate the effectiveness and efficiency of these approaches.

Zusammenfassung

Die Arbeit entwickelt ein optimales Intervall-Newton-Verfahren für Systeme von nichtlinearen Gleichungen, wie sie im Zusammenhang mit nichtlinearen Optimierungsaufgaben auftreten. Die Modifikationen des Intervall-Newton-Verfahrens in dieser Arbeit stellen numerisch wirkungsvolle Verbesserungen des allgemeinen Intervall-Newton-Verfahrens dar.

In der Arbeit wird aufgezeigt, daß die Berechnung einer optimalen Schrittweite im Intervall-Newton-Verfahren notwendig ist, damit man die Generierung einer feiner werdenden Einschließungsfolge garantieren kann. Dieses Vorgehen wird als optimales Newton-Verfahren bezeichnet und für den mehrdimensionalen Fall implementiert.

Die Arbeit zeigt dann die Verwendung des optimalen Intervall-Newton-Verfahrens als “feasible direction”-Verfahren im Zusammenhang mit Nichtnegativitätsbedingungen. In der Implementierung wird auch eine Technik der Matrizenzerlegung verwendet, die den Rechenaufwand für die Inverse der Hesseschen Matrix im Intervall-Newton-Verfahren vermindert.

Das Vorgehen wird an mehreren Beispielen demonstriert, u.a. an Optimierungsaufgaben mit Störungen der Problemkoeffizienten. Die numerischen Ergebnisse bestätigen die Leistungsfähigkeit unserer Ansätze.