A note on unconditional fixed-h stability of linear multistep formulae

Summary

For a linear multistep method applied with a fixed integration steph tox=λx, λ constant, a concept ofA _D -stability is defined relative to any domain of the complexq=λh plane. The image of the unit circle, under the mapq=q(z) induced by the characteristic equation, determines a “maximal” stability domainD, even ifq (z) is not univalued or if the image of the unit circle is unbounded. This is proved via degree theory of analytic maps onRiemann surfaces. For a special class of formulae, easy-to-check, sufficient conditions are given forq to belong toD.

Zusammenfassung

Für ein lineares Mehrschrittverfahren, welches mit konstantem Integrationsschritth und konstantem λ auf die Gleichungx=λx angewendet wird, läßt sich ein Begriff derA _D -Stabilität definieren in bezug auf ein Gebiet der komplexenq=λh-Ebene. Das Bild des Einheitskreises unter der durch die charakteristische Gleichung definierten Abbildungq=q(z) bestimmt ein “maximales” StabilitätsgebietD, sogar wennq(z) nicht eindeutig oder das Bild des Einheitskreises nicht beschränkt ist. Der Beweis beruht auf der Theorie des Grades analytischer Abbildungen vonRiemannschen Flächen. Für eine besondere Klasse von Mehrstellen-verfahren werden leicht nachprüfbare Bedingungen hergeleitet, die hinreichend sind dafür, daß ein gegebenerq-Wert inD liegt.