Optimal parallel algorithms for computing convex hulls and for sorting

Abstract

A parallel algorithm is presented for computing the convex hull of a set ofn points in the plane. The algorithm usesn ^1−ε processors, 0<ε<1, and runs inO(n ^ε logh) time, whereh is the number of edges on the convex hull, for a total cost ofO (n logh). This performance matches that of the best currently known sequential convex hull algorithm. In addition, sinceh≤n, the algorithm is worst-case optimal in view of the Ω (n logn) worst-case lower bound on sequential convex hull computation. It is also shown that the convex hull algorithm leads to a parallel sorting algorithm whose total cost isO(n logn), which is optimal.

Zusammenfassung

In dieser Arbeit wird ein paralleler Algorithmus zur Berechnung der konvexen Hülle einer Menge vonn Punkten in der Ebene vorgestellt. Der Algorithmus benötigtn ^1−ε Prozessoren, 0<ε<1, und läuft in der ZeitO(n ^ε logh), wobeih die Zahl der Kanten der konvexen Hülle ist. Daraus ergeben sich Gesamtkosten vonO(n logh). Dieses Verhalten stimmt mit dem des besten bisher bekannten sequentiellen Algorithmus zur Berechnung der konvexen Hülle überein. Der Algorithmus ist zusätzlich optimal im schlechtesten Fall, dah≤n gilt und Ω(n logn) eine untere Schranke für die sequentielle Berechnung der konvexen Hülle ist. Außerdem wird gezeigt, daß der Algorithmus für die konvexe Hülle zu einem parallelen Sortierverfahren führt, dessen GesamtkostenO(n logn) sind, d. h. auch dieses Verfahren ist optimal.