Zur Konvergenz der Ableitungen von Interpolationspolynomen

Zusammenfassung

Seip _n das Polynom vom Maximalgradn, das eine gegebene Funktionf an den Čebyšev-Knotent ⁿ _j =cos (jπ/n), 0≤j≤n, interpoliert, und ‖·‖ die Maximumnorm imC[−1,+1]. Es wird gezeigt, daß fürk-te Ableitungen (2≤k≤n) Abschätzungen folgender Art gelten:

$$\parallel f^{(k)} - p_n^{(k)} \parallel \leqslant c_k n^{k - 1} \inf \{ \parallel f^{(k)} - q\parallel :q \in \Pi _{n - k} \} .$$

Hier hägtc _k nur vonk ab undΠ _n−k ist der Raum der Polynome vom Maximalgradn−k.

Abstract

Letp _n denote the polynomial of degreen or less that interpolates a given smooth functionf at the Čebyšev nodest ⁿ _j =cos(jπ/n), 0≤j≤n, and let ‖·‖ be the maximum norm inC[−1, 1]. It is proved that fork-th derivatives (2≤k≤n) estimates of the following type hold

$$\parallel f^{(k)} - p_n^{(k)} \parallel \leqslant c_k n^{k - 1} \inf \{ \parallel f^{(k)} - q\parallel :q \in \Pi _{n - k} \} .$$

In this relationc _k only depends onk andΠ _n−k denotes the space of polynomials up to degreen−k.