Numerical solution for the one-phase Stefan problem by Piecewise constant approximation of the interface

Abstract

The classical one-phase one-dimensional Stefan problem is numerically solved on rectangles,R _j , of increasing size controlled by the Stefan condition. This approach is based on a scheme introduced by E. Di Benedetto and R. Spigler in 1983. The practical implementation rests on the representation viathermal potentials of the solutionu ^j (x, t) to the heat equation inR _j . The quantityu ^j _x (x _j ,jΔt) which determines the (j+1)-th rectangle is evaluatedanalytically by solving explicitly an integral equation. The solution inR _j+1 is then obtained bynumerically evaluating a further integral expression. The algorithm is tested by solving two problems whose solution is explicitly known. Convergence, stability and convergence rate as Δx→0, Δt→0 have been tested and plots are shown.

Zusammenfassung

Das klassische ein dimensionale Ein-Phasen Stefan Problem wird numerisch über wachsende RechteckeR _j gelöst, die von der Stefan Bedingung geregelt werden. Dieses Verfahren beruht auf einer Methode, die von E. Di Benedetto und R. Spigler 1983 entwickelt wurde. Die praktische Implementierung beruht auf einer Darstellung mittelsthermischer Potentiale der Lösungu ^j (x, t) der Wärmegleichung inR _j . Der Wertu ^j _x (x _j ,jΔt), der das (j+1)-ste Rechteck bestimmt, wird analytisch durch die explizite Lösung einer Integralgleichung berechnet. Die Lösung inR _j+1 wird durch numerische Berechnung eines anderen Integralausdruckes bestimmt. Der Algorithmus wird an zwei Problemen getestet, deren Lösung explizit bekannt ist. Die Konvergenz, die Stabilität und die Konvergenzgeschwindgkeit für Δx→0, Δt→0 werden ebenfalls getestet und graphisch dargestellt.